非旋 treap 結構體數組版（無指針）詳解，有圖有真相
非旋 $treap$ （FHQ treap）的簡單入門
前置技能
建議在掌握普通 treap 以及 左偏堆（也就是可並堆）食用本blog
原理
以隨機數維護平衡，使樹高期望為logn級別， FHQ 不依靠旋轉，只有兩個核心操作merge（合並）和split（拆分）
所謂隨機數維護平衡就是給每個節點一個隨機值 key （下文中沒有加隨機的就代表是真實權值），
然後整棵樹中 key 值要滿足小（大）根堆的性質（也就是heap），
同時也要滿足平衡樹（tree）的性質（也就是每個節點左子樹內節點真實權值小於它，右子樹相反）
然後這個玩意兒就有了一個草率的名字：treap （tree 和 heap 的結合體）
結構體變量介紹
1 int Rand() { //偽隨機函數，能讓代碼稍微變快 2 static int seed=703; 3 return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1)); 4 } 5 struct Node { 6 int val,key,siz,ch[2]; 7 // val 真實權值，key 隨機權值，siz 子樹大小 ， ch 左右子節點 8 void clear() { //清空操作 9 ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0; 10 }變量介紹11 } t[M]; 12 int update(int now){ //更新操作 13 t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1; 14 }
核心操作
merge操作
模型實現
假設有兩顆子樹x，y，且 x 的所有節點的值都小於 y 的所有節點的值，隨機權值 key 都以小根堆的形式存儲。
此時要合並 x 和 y 。我們先比較它們的根的隨機權值，發現1<3，因為要滿足小根堆性質，於是 x 的左子樹全部不變，讓它的右子樹繼續和 y 合並。
這時我們發現，隨機權值 key 5>3，所以 y 接到 rot 的下方，成為 rot 的右兒子，y的右子樹全部不變，讓y的左子樹繼續和x合並（以滿足平衡樹的性質）。
由於5>4，所以y和y的右子樹作為rot的左兒子，y的左子樹繼續和x合並。
5<7，所以接入x和它的左子樹作為rot的左兒子。
至此，我們發現 x 為 0 ，所以直接返回 y ，合並結束。
代碼實現
1 int merge(int u,int v) { // 此時 u 中節點權值均小於 v 中節點權值 2 if(!u || !v) return u|v; //某節點為空,直接返回另一節點 3 if(t[u].key<t[v].key) { //以此滿足 heap 性質 4 t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v); // u 右子節點與 v 合並, 以滿足平衡樹性質 5 update(u); return u; 6 } else { 7 t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]); // u 與 v 左子節點合並, 以滿足平衡樹性質 8 update(v); return v; 9 } 10 }merge
split操作
split有兩種拆分方式:
1. 按權值大小拆分
2. 按排名大小拆分。
模型實現
1.按權值split
首先得有個基準值 a ，即權值小於等於 a 的節點全部進入左樹（下圖中會將此類節點染紅），大於a的節點全部進入右樹（下圖中會將此類節點染藍）。這裏以a=25為例。
首先，發現rot的權值=15<25，由平衡樹的性質可知，rot的左子樹所有節點權值一定小於25，所以rot和它的的左子樹全部進入左樹，繼續拆分rot的右子樹。
32>25，所以 rot 和它的右子樹全部進入右樹，繼續拆分 rot 的左子樹。
29>25，同上。
24<25，所以拆分右子樹。
27>25，所以拆分左子樹。
發現此時rot為0，所以拆分完畢，返回。
2.按排名split
就是把前 k 個節點拆入左樹，其它節點拆入右樹。這裏以k=5為例。
rot的左子樹的siz+1=3<5，所以rot和它的左子樹進入左樹，其他節點拆分5-3=2個節點進入左樹。
4+1>2，所以rot和右子樹進入右樹，其它節點繼續拆分出2個節點進入左樹。
3+1>2，同上。
1+1=2，所以rot和左子樹進入左樹，其它節點繼續拆分2-2=0個節點進入左樹。
1+0>0，所以rot和右子樹進入右樹，其它節點繼續拆分0個節點進入左樹。
rot為0，拆分結束。
代碼實現
1.按權值split
1 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) { 2 if(!now) return (void)(x=y=0); //節點為空, return 3 if(t[now].val<=k) //當前節點和它的左子樹都滿足進入左樹的條件 4 x=now,split_val(t[now].ch[1],k,t[now].ch[1],y); 5 else //當前節點和它的右子樹都滿足進入右樹的條件 6 y=now,split_val(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]); 7 update(now); 8 }按權值splilt
2.按排名split
1 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) { //與按權值 split 類似 2 if(!now) return (void)(x=y=0); 3 update(now); 4 if(t[t[now].ch[0]].siz<k) 5 x=now,split_k(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y); 6 else 7 y=now,split_k(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]); 8 update(now); 9 }按排名split
其他操作
FHQ treap 的核心操作只有 merge 和 split 兩個，其他操作都是基於這兩個操作實現的。
插入
插入權值為 x 的節點時，先新建一個節點，再以 x 為界按權值 split 整棵樹為a,b，再按順序 merge a，x，b。
代碼實現
1 void ins(int x) { 2 int u,a,b; 3 t[u=++cnt].key=Rand(); 4 t[u].val=x,t[u].siz=1; 5 split_val(root,x,a,b); 6 root=merge(merge(a,u),b); 7 }插入節點
刪除
要刪除x，先將整棵樹以 x-1 為界按權值split 成a和b，再將 b 以 1 為界 按排名split 成c和d，則 c 就是要刪除的節點。最後按順序merge a，b，d。
（當然，這是在要刪除節點必定存在的情況下才能進行的操作，不存在的情況請自行腦補）
代碼實現
1 void del(int x) { 2 int a,b,c,d; 3 split_val(root,x-1,a,b); 4 split_k(b,1,c,d); 5 t[c].clear(),root=merge(a,d); 6 }刪除節點
查詢 x 的排名
先將整棵樹以x-1按權值split成a和b，則a的siz+1即為x的排名。
代碼實現
1 int get_rank(int x) { 2 int a,b,c; 3 split_val(root,x-1,a,b); 4 c=t[a].siz+1; 5 root=merge(a,b); 6 return c; 7 }查詢排名
查詢排名為 k 的值
先split出整棵樹前k-1小節點，則右樹最小節點即為所求節點，再次split 即可。
代碼實現
1 int get_val(int& now,int x) { 2 int a,b,c,d,e; 3 split_k(now,x-1,a,b); 4 split_k(b,1,c,d); 5 e=t[c].val; 6 now=merge(a,merge(c,d)); 7 return e; 8 }查詢權值
查x前驅
將整棵樹以x-1按權值split，左樹中最大節點即為所求節點，轉入第x小值問題。
代碼實現
1 int pre(int x) { 2 int a,b,c; 3 split_val(root,x-1,a,b); 4 c=get_val(a,t[a].siz); 5 root=merge(a,b); 6 return c; 7 }查詢前驅
查x後繼
將整棵樹以x按權值split，右樹中最小節點即為所求節點，轉入第x小值問題。
代碼實現
1 int sub(int x) { 2 int a,b,c; 3 split_val(root,x,a,b); 4 c=get_val(b,1); 5 root=merge(a,b); 6 return c; 7 }查詢後繼
非旋 Treap的其他作用
非旋 trap 是支持區間操作的，具體其實就是你把原來的一棵樹 split 成 3 棵樹（$1~l-1,l~r,r+1~n$），然後 我們對中間那棵樹進行操作即可，具體代碼不附上了
例題
洛谷P3369【模板】普通平衡樹
代碼
1 //by Judge 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 const int M=1e5+111; 6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 8 inline int read(){ 9 #define num ch-‘0‘ 10 char ch;bool flag=0;int res; 11 while(!isdigit(ch=getc())) 12 (ch==‘-‘)&&(flag=true); 13 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 14 (flag)&&(res=-res); 15 #undef num 16 return res; 17 } 18 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z; 19 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} 20 inline void print(int x){ 21 if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x; 22 while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); 23 while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=‘\n‘; 24 } 25 int n,cnt,root; 26 int Rand() { 27 static int seed=703; 28 return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1)); 29 } 30 struct Node { 31 int val,key,siz,ch[2]; 32 void clear() { 33 ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0; 34 } 35 } t[M]; 36 int update(int now){ 37 t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1; 38 } 39 int merge(int u,int v) { 40 if(!u || !v) return u|v; 41 if(t[u].key<t[v].key) { 42 t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v); 43 update(u); return u; 44 } else { 45 t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]); 46 update(v); return v; 47 } 48 } 49 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) { 50 if(!now) return (void)(x=y=0); 51 if(t[now].val<=k) 52 x=now,split_val(t[now].ch[1],k,t[now].ch[1],y); 53 else 54 y=now,split_val(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]); 55 update(now); 56 } 57 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) { 58 if(!now) return (void)(x=y=0); 59 update(now); 60 if(t[t[now].ch[0]].siz<k) 61 x=now,split_k(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y); 62 else 63 y=now,split_k(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]); 64 update(now); 65 } 66 void ins(int x) { 67 int u,a,b; 68 t[u=++cnt].key=Rand(); 69 t[u].val=x,t[u].siz=1; 70 split_val(root,x,a,b); 71 root=merge(merge(a,u),b); 72 } 73 void del(int x) { 74 int a,b,c,d; 75 split_val(root,x-1,a,b); 76 split_k(b,1,c,d); 77 t[c].clear(),root=merge(a,d); 78 } 79 int get_rank(int x) { 80 int a,b,c; 81 split_val(root,x-1,a,b); 82 c=t[a].siz+1; 83 root=merge(a,b); 84 return c; 85 } 86 int get_val(int& now,int x) { 87 int a,b,c,d,e; 88 split_k(now,x-1,a,b); 89 split_k(b,1,c,d); 90 e=t[c].val; 91 now=merge(a,merge(c,d)); 92 return e; 93 } 94 int pre(int x) { 95 int a,b,c; 96 split_val(root,x-1,a,b); 97 c=get_val(a,t[a].siz); 98 root=merge(a,b); 99 return c; 100 } 101 int sub(int x) { 102 int a,b,c; 103 split_val(root,x,a,b); 104 c=get_val(b,1); 105 root=merge(a,b); 106 return c; 107 } 108 int main() { 109 n=read(); int opt,x; 110 while(n--){ 111 opt=read(),x=read(); 112 switch(opt){ 113 case 1: ins(x); break; 114 case 2: del(x); break; 115 case 3: print(get_rank(x)); break; 116 case 4: print(get_val(root,x)); break; 117 case 5: print(pre(x)); break; 118 case 6: print(sub(x)); break; 119 } 120 } Ot(); return 0; 121 }完整代碼
最後感謝 axjcy 大佬的 blog
非旋 treap 結構體數組版（無指針）詳解，有圖有真相