Problem

• 給出n次事件，每次事件給出三個非負整數x,y,d。d=0表示在點(x,y)打了一個洞；否則表示詢問由(x,y),(x+d,y),(x,y+d)三點圍成的三角形中洞的個數。

  Hint

  30%的數據n<=3333 。
  另30% 的數據 GFS只會在DSJ打完洞後才開始詢問,xi,yi<=333333 。
  100%的數據 1<=n<=88888，xi,yi<=3333333 。

  Solution

  算法I：暴力

• 考慮對於詢問(i,j,d)，若點(x,y)在該詢問的三角形內，需要滿足哪些條件。
• 應滿足這三個條件：1. i≤x≤i+d ; 2. x+y≤i+j+d ; 3. y≥j 。

• 那麽，我們可以用一個數組存儲已經出現過的點（打的那些洞），然後掃一遍數組，統計一下有多少個點滿足這三個條件即可。

• 時間復雜度：\(O(n^2)\)。
• 期望得分：30~100points。

• （xzb的經歷告訴我們：對於這種n比較小的高維偏序問題，暴力是可以碾標算的。我們應屑於打打暴力，萬一過了呢？）

  算法II：四維偏序問題

• 觀察到算法I實際上是在求：滿足上述三個條件，並且出現時間＜詢問時間的點數。
• 那麽就轉化為一個四維偏序問題。

• 我們可以對時間分治，掃描線再解決一維，最後用一個二維數據結構（譬如帶修主席樹）解決剩下兩維。

• 時間復雜度：\(O(n*(log_2n)^3)\)。
• 期望得分：60~100points。

• 友情提醒：如果在比賽中想到了這種十分難打、十分難調，計算器一算極限數據復雜度接近4億的、估計不是正解的算法，最好還是別打。畢竟打掛了，白白浪費時間；就算沒打掛，也可能會T。

  算法III：簡單容斥+二維偏序問題

• 假設我們打完了算法I，略過了算法II，考慮一下離線的那30points有什麽較為穩妥的方法。
  
• 如圖，假設我們要詢問淺藍色\(\triangle\)。

• 實際上，淺藍色\(\triangle\)內點的個數=兩條深藍色斜線內點的個數-左上方平行四邊形內點的個數-右下方平行四邊形內點的個數。

• 將所有詢問拆成兩條x+y的掃描線。（顯然，深藍色斜線上的點的x+y為同一個數）那麽，我們將所有點和詢問按照x+y排序。
• 對於詢問，可以借鑒差分的思想。就是說，我們在掃到第一條斜線（左下方那條）時，貢獻為點數* (-1)；掃到第二條斜線（右上方那條）時，貢獻為點數 *(+1)。這樣，即可求出兩條斜線間點的個數。
• 至於那兩個平行四邊形，左上方那個要滿足x在一定範圍內，右下方那個要滿足y在一定範圍內。我們用兩個樹狀數組維護即可。

• 時間復雜度：\(O(n*log_2n)\)。

• 期望得分：60points。

  算法IV：再加一維時間

• 從算法III我們可發現，如果去掉了時間限制（打洞和詢問的先後關系），我們可以用\(O(n*log_2n)\)的時間完成。

• 那麽直接套個CDQ分治即可優美地解決時間的一維！

• 時間復雜度：\(O(n*(log_2n)^2)\)。

• 期望得分：100points。

  Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

const int N=3e5;
int i,n,x,y,d,xs,X[N],ys,Y[N],m,c1[N],c2[N],ans[N];
struct oper
{
    int x,y,c,v;
    inline bool operator<(const oper a)const {return c<a.c||c==a.c&&abs(v)<abs(a.v);}
}o[N],a[N];

void read(int&x)
{
    char ch=getchar(); x=0;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar());
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
}

inline int lowbit(int x) {return x&-x;}
int query(int *c,int n)
{
    int ans=0;
    for(;n;n-=lowbit(n)) ans+=c[n];
    return ans;
}
void add(int *c,int cs,int k,int d)
{
    for(;k<=cs;k+=lowbit(k)) c[k]+=d;
}

void work(int cnt)
{
    sort(a+1,a+cnt+1);
    int c=0;
    fo(i,1,cnt)
        if(a[i].v)
        {
            int v=abs(a[i].v),f=a[i].v/v;
            ans[v]+=f*( c - query(c1,a[i].x) - query(c2,a[i].y) );
        }
        else
        {
            c++;
            add(c1,xs,a[i].x,1); add(c2,ys,a[i].y,1);
        }
    
    fo(i,1,cnt) if(!a[i].v) add(c1,xs,a[i].x,-1), add(c2,ys,a[i].y,-1);
}
void CDQ(int l,int r)
{
    int m=l+r>>1,h=0,b=0;
    fo(i,l,m) if(!o[i].v) a[++h]=o[i];
    fo(i,i,r) if(o[i].v) a[h+(++b)]=o[i];
    if(h&&b) work(h+b);
    if(h&&h<=m-l) CDQ(l,m);
    if(b&&b<r-m) CDQ(m+1,r);
}

int main()
{
    read(n);
    fo(i,1,n)
    {
        read(x); read(y); read(d);
        if(!d)
        {
            X[++xs]=x; Y[++ys]=y;
            o[++m]={x,y,x+y,0}; ans[i]=-1;
            continue;
        }
        X[++xs]=x-1; Y[++ys]=y-1;
        o[++m]={x-1,y-1,x+y-1,-i};
        o[++m]={x-1,y-1,x+y+d, i};
    }
    
    
    sort(X+1,X+xs+1); xs=unique(X+1,X+xs+1)-X-1;
    sort(Y+1,Y+ys+1); ys=unique(Y+1,Y+ys+1)-Y-1;
    fo(i,1,m) 
    {
        o[i].x=lower_bound(X+1,X+xs+1,o[i].x)-X;
        o[i].y=lower_bound(Y+1,Y+ys+1,o[i].y)-Y;
    }
    
    CDQ(1,m);
    
    fo(i,1,n) if(ans[i]>=0) printf("%d\n",ans[i]);
}

【JZOJ4419】【GDOI2016模擬4.2】hole（四~三維偏序問題）