先引用網上的關於差分約束的解釋：

一、引例

1、一類不等式組的解

給定n個變量和m個不等式，每個不等式形如 x[i] – x[j] <= a[k] (0 <= i, j < n, 0 <= k < m， a[k]已知)，求 x[n-1] – x[0] 的最大值。例如當n = 4，m = 5，不等式組如圖一-1-1所示的情況，求x3 – x0的最大值。

圖一-1-1

觀察x3 – x0的性質，我們如果可以通過不等式的兩兩加和得到c個形如 x3 – x0 <= Ti 的不等式，那麽 min{ Ti | 0 <= i < c } 就是我們要求的x3 – x0的最大值。於是開始人肉，費盡千辛萬苦，終於整理出以下三個不等式：

1. (3) x3 – x0 <= 8

2. (2) + (5) x3 – x0 <= 9

3. (1) + (4) + (5) x3 – x0 <= 7

這裏的T等於{8， 9， 7}，所以min{ T } = 7，答案就是7。的確是7嗎？我們再仔細看看，發現的確沒有其它情況了。那麽問題就是這種方法即使做出來了還是帶有問號的，不能確定正確與否，如何系統地解決這類問題呢？

讓我們來看另一個問題，這個問題描述相對簡單，給定四個小島以及小島之間的有向距離，問從第0個島到第3個島的最短距離。如圖一-1-2所示，箭頭指向的線段代表兩個小島之間的有向邊，藍色數字代表距離權值。

圖一-1-2

這個問題就是經典的最短路問題。由於這個圖比較簡單，我們可以枚舉所有的路線，發現總共三條路線，如下：

1. 0 -> 3 長度為8

2. 0 -> 2 -> 3 長度為7+2 = 9

3. 0 -> 1 -> 2 -> 3 長度為2 + 3 + 2 = 7

最短路為三條線路中的長度的最小值即7，所以最短路的長度就是7。這和上面的不等式有什麽關系呢？還是先來看看最短路求解的原理，看懂原理自然就能想到兩者的聯系了。

若有負環，則不等式組解不存在：

若存在負環,則已知a+b+c<0。

又已知：

B-A<=c……1

C-B<=a……2

A-C<=b……3

假設存在解A,B,C

2+3得：A-B<=a+b

和1聯立得：-c<=A-B<=a+b

又因為：a+b<-c

所以：a+b<a+b，明顯不符合，所以解不存在

解的存在性

上文提到最短路的時候，會出現負權圈或者根本就不可達的情況，所以在不等式組轉化的圖上也有可能出現上述情況，先來看負權圈的情況，如圖三-3-1，下圖為5個變量5個不等式轉化後的圖，需要求得是X[t] – X[s]的最大值，可以轉化成求s到t的最短路，但是路徑中出現負權圈，則表示最短路無限小，即不存在最短路，那麽在不等式上的表現即X[t] – X[s] <= T中的T無限小，得出的結論就是 X[t] – X[s]的最大值 不存在。

圖三-3-1

再來看另一種情況，即從起點s無法到達t的情況，如圖三-3-2，表明X[t]和X[s]之間並沒有約束關系，這種情況下X[t] – X[s]的最大值是無限大，這就表明了X[t]和X[s]的取值有無限多種。

圖三-3-2

在實際問題中這兩種情況會讓你給出不同的輸出。綜上所述，差分約束系統的解有三種情況：1、有解；2、無解；3、無限多解；

差分約束系統相關證明（存在負環則無解證明）