題目鏈接：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1202

題目大意：

刁姹接到一個任務，為稅務部門調查一位商人的賬本，看看賬本是不是偽造的。賬本上記錄了n個月以來的收入情況，其中第i 個月的收入額為Ai(i=1,2,3...n-1,n)， 。當 Ai大於0時表示這個月盈利Ai 元，當 Ai小於0時表示這個月虧損Ai 元。所謂一段時間內的總收入，就是這段時間內每個月的收入額的總和。 刁姹的任務是秘密進行的，為了調查商人的賬本，她只好跑到商人那裏打工。她趁商人不在時去偷看賬本，可是她無法將賬本偷出來，每次偷看賬本時她都只能看某段時間內賬本上記錄的收入情況，並且她只能記住這段時間內的總收入。 現在，刁姹總共偷看了m次賬本，當然也就記住了m段時間內的總收入，你的任務是根據記住的這些信息來判斷賬本是不是假的。

思路：

一：差分約束系統轉化

對於一段區間的和，可以轉化成前綴和相減的形式。

比如區間a-b的和為c，也就是sum[b] - sum[a - 1] = c

可以寫成兩個式子：

sum[b] - sum[a - 1] <= c

sum[b] - sum[a - 1] >= c

根據差分約束系統式子：

也就是a-1到b 權值為c

b到a-1 權值為-c

判斷有沒有負環，有的話無解，輸出false。

二、帶權並查集：

也是轉化成前綴和的形式。對於每個節點所帶的權值cnt[i] = s[root] - s[i]

1、如果x=a-1，y=b在同一子樹中，cnt[x] = s[root] - s[x] cnt[y] = s[root] - s[y]

那麽cnt[x] - cnt[y] = s[y] - s[x]判斷是否等於輸入值c。

2、不在同一子樹，進行合並。

設fx為x子樹根節點 fy為y子樹根節點。

有cnt[x] = s[fx] - s[x] cnt[y] = s[fy] = s[y] 目前又給出條件：s[y] - s[x] = z;

將fy並入fx中，那麽cnt[fy]應該設置成s[fx] - s[fy]

由上述三個式子可得：cnt[fy]應該設置成cnt[x] - cnt[y] - z

這樣帶權並查集的合並就寫好了。

差分：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define IOS ios::sync_with_stdio(false);//
 
不可再使用scanf printf
 3 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))//禁用於函數，會超時
 4 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 5 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
 6 #define Dis(x, y, x1, y1) ((x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1))
 7 #define MID(l, r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
 8 #define lson ((o)<<1)
 9 #define rson ((o)<<1|1)
10 #define Accepted 0
11 #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")//棧外掛
12 using namespace std;
13 inline int read()
14 {
15     int x=0,f=1;char ch=getchar();
16     while (ch<‘0‘||ch>‘9‘){if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
17     while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
18     return x*f;
19 }
20 
21 typedef long long ll;
22 const int maxn = 2000 + 10;
23 const int MOD = 1000000007;//const引用更快，宏定義也更快
24 const int INF = 1e9 + 7;
25 const double eps = 1e-6;
26 
27 struct edge
28 {
29     int v, w;
30     edge(){}
31     edge(int v, int w):v(v), w(w){}
32 };
33 vector<edge>e;
34 vector<int>G[maxn];
35 bool inq[maxn];//是否在隊列中
36 int d[maxn];
37 int cnt[maxn];//入隊次數
38 int n, m;
39 void addedge(int u, int v, int w)
40 {
41     e.push_back(edge(v, w));
42     G[u].push_back(e.size() - 1);
43 }
44 bool SPFA()
45 {
46     queue<int>q;
47     memset(inq, 0, sizeof(inq));
48     memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
49     for(int i = 0; i <= n; i++){d[i] = 0; inq[0] = true;q.push(i);}
50     while(!q.empty())
51     {
52         int u = q.front();
53         q.pop();
54         inq[u] = 0;
55         for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)
56         {
57             int v = e[G[u][i]].v;
58             int w = e[G[u][i]].w;
59             if(d[v] > d[u] + w)
60             {
61                 d[v] = d[u] + w;
62                 if(!inq[v])
63                 {
64                     q.push(v);
65                     inq[v] = 1;
66                     if(++cnt[v] > n)return true;
67                 }
68             }
69         }
70     }
71     return false;
72 }
73 int main()
74 {
75     int T;
76     scanf("%d", &T);
77     while(T--)
78     {
79         scanf("%d%d", &n, &m);
80         for(int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear();
81         e.clear();
82         int u, v, w;
83         for(int i = 1; i <= m; i++)
84         {
85             scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
86             u--;
87             addedge(u, v, w);
88             addedge(v, u, -w);
89         }
90         if(SPFA())puts("false");
91         else puts("true");
92     }
93     return Accepted;
94 }

帶權並查集：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define IOS ios::sync_with_stdio(false);//不可再使用scanf printf
 3 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))//禁用於函數，會超時
 4 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 5 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
 6 #define Dis(x, y, x1, y1) ((x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1))
 7 #define MID(l, r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
 8 #define lson ((o)<<1)
 9 #define rson ((o)<<1|1)
10 #define Accepted 0
11 #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")//棧外掛
12 using namespace std;
13 inline int read()
14 {
15     int x=0,f=1;char ch=getchar();
16     while (ch<‘0‘||ch>‘9‘){if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
17     while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
18     return x*f;
19 }
20 
21 typedef long long ll;
22 const int maxn = 2000 + 10;
23 const int MOD = 1000000007;//const引用更快，宏定義也更快
24 const int INF = 1e9 + 7;
25 const double eps = 1e-6;
26 
27 int cnt[maxn];//cnt[i]表示s[root] - s[i]
28 int p[maxn];
29 int Find(int x)
30 {
31     if(x == p[x])return x;
32     int tmp = Find(p[x]);//此處不可以先路徑壓縮，需要更新x之後再進行路徑壓縮
33     cnt[x] += cnt[p[x]];//一開始 cnt[x] = s[p[x]] - s[x] cnt[p[x]] = s[root] - s[p[x]]
34     p[x] = tmp;         //需要路徑壓縮轉化成 cnt[x] = s[root] - s[x]
35     return p[x];
36 }
37 int main()
38 {
39     int T;
40     scanf("%d", &T);
41     while(T--)
42     {
43         int n, m;
44         scanf("%d%d", &n, &m);
45         for(int i = 0; i <= n; i++)p[i] = i, cnt[i] = 0;
46         int flag = 0;
47         for(int i = 1; i <= m; i++)
48         {
49             int x, y, z;
50             scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
51             x--;
52             int fx = Find(x), fy = Find(y);
53             if(fx != fy)
54             {
55                 //目前已知 s[y] - s[x] = z  cnt[x] = s[fx] - s[x] cnt[y] = s[fy] - s[y]
56                 //將y的根fy並入x的根fx中 那麽需要設置cnt[fy] = s[fx] - s[fy]
57                 //所以cnt[fy] = s[fx] - s[fy] = s[x] + cnt[x] - (s[y] + cnt[y]) = cnt[x] - cnt[y] - z
58                 cnt[fy] = cnt[x] - cnt[y] - z;
59                 p[fy] = fx;
60             }
61             else if(cnt[x] - cnt[y] != z)//驗證s[y] - s[x] == z 等價於驗證 cnt[x] - cnt[y] == z
62             {
63                 flag = 1;
64             }
65         }
66         if(flag)puts("false");
67         else puts("true");
68     }
69     return Accepted;
70 }

BZOJ 1202 狡猾的商人 差分約束or帶權並查集