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解題思路

題目裏有兩句提示一定要看清楚，要不全買要不全賣，所以dp方程就比較好列，f[i]=max(f[j]*rate[j]*a[i])/(rate[j]*a[j]+b[j])+(f[j]*b[i])/(rate[j]*a[j]+b[j])，意義就是在從前面的某一天買入，這一天賣出，時間復雜度O(n^2)，這樣只有60分，，考慮優化。設在j這天a買入了x[j]股，則x[j]=(rate[j]*f[j])/(rate[j]*a[j]+b[j])，b買入了y[j]股，則y[j]=rate[j]/(rata[j]*a[j]+b[j])，那麽轉移方程就可以寫成f[i]=x[j]*a[i]+y[j]*b[i]，那麽變形之後y[j]=x[j]*(a[i]/b[i])+f[i]/b[i]，這不正是y=kx+b的形式，現在要求的就是用一個a[i]/b[i]斜率的直線去過x[j],y[j]這些點，使得截距最大，這正是斜率優化。但是發現這個東西只有f具有單調性，不能用單調數據結構維護，看了大佬們的博客發現可以用cdq維護。首先維護的一定是一個斜率遞減的凸包，因為斜率一定為負。其次對於一條a[i]/b[i]來說，如果當前點與上一個點的斜率更小，那麽向右移動可以使得截距更大，這樣就可以用cdq來維護，首先按照k排序，然後cdq分治裏x這一維，就可以很玄學的轉移了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const double inf = 1e9;
const double eps = 1e-6;

int n,stk[MAXN];
double f[MAXN];

struct Query{
    int id;
    
 
double x,y,k,a,b,rate;
}q[MAXN],tmp[MAXN];

inline bool cmp(Query A,Query B){
    return A.k<B.k;
}

inline double slope(int A,int B){
    if(q[A].x==q[B].x) return inf;
    return (q[A].y-q[B].y)/(q[A].x-q[B].x);
}

void cdq(int l,int r){
    if(l==r){
        f[l]=max(f[l],f[l-1]);
        q[l].y
 
=f[l]/(q[l].rate*q[l].a+q[l].b);
        q[l].x=q[l].y*q[l].rate;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;int t1=l-1,t2=mid,top=0;
    for(register int i=l;i<=r;i++) {
        if(q[i].id<=mid) tmp[++t1]=q[i];
        else tmp[++t2]=q[i];
    }
    for(register int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i];
    cdq(l,mid);
    for(register int i=l;i<=mid;i++){
        while(top>=2 && slope(stk[top-1],stk[top])<=slope(stk[top],i)+eps) top--;
        stk[++top]=i;
    }
    for(register int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(top>=2 && slope(stk[top-1],stk[top])<=q[i].k+eps) top--;
        int j=stk[top];
        f[q[i].id]=max(f[q[i].id],q[j].x*q[i].a+q[j].y*q[i].b);
    }
    cdq(mid+1,r);
    int L=l,R=mid+1,o=0;
    while(L<=mid && R<=r){
        if(q[L].x<q[R].x+eps) tmp[++o]=q[L++];
        else tmp[++o]=q[R++];
    }
    while(L<=mid) tmp[++o]=q[L++];
    while(R<=r)  tmp[++o]=q[R++];
    for(register int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i-l+1];
}

int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].rate);
        q[i].k=-q[i].a/q[i].b;q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+n,cmp);cdq(1,n);
    printf("%.3lf",f[n]);
    return 0;
}

LUOGU P4027 [NOI2007]貨幣兌換 (斜率優化+CDQ分治)