偏微分方程數值解---學習總結

1.知識回顧 （註:\(\mit V\)是線性空間）

• 內積 $(\cdot ,\cdot):\mit V \times \mit V \longrightarrow \R $ 是一個雙線性映射，並且滿足 \((i) (u,v)=(v,u), \forall \, u,v \in\mit V\);

? $(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; \((iii) (u,u)=0\) 當且僅當 \(u=0\).

• 半範數 \(||\cdot||:\mit V \longrightarrow \R\) 是一個線性映射，滿足 \((i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\)

  $(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \R; $

  ? \((iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V.\)

• 範數 半範數+條件：\(||u||=0\) 當且僅當 \(u=0\).

• 範數等價定理：設 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是線性空間 \(\mathbf V\) 上兩個範數，如果存在兩個正數 \(c_1\) 和 \(c_2，\)

  ? 滿足下列 不等 式, 則稱 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\)

  是等價的，
  \[ c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \R,\,\forall \,v \in \mit V. \]

• 內積空間 如果一個線性空間被賦予內積,則它就是一個內積空間.

  • 內積可以產生誘導範數
    \[ ||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V. \]

  • Schwarz inequality
    \[ |(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V. \]

• 希爾伯特空間 完備的內積空間是希爾伯特空間，即內積空間內任意柯西序列都是收斂的。
• 賦範線性空間 如果一個線性空間被賦予範數，則它成為賦範線性空間。
  • 內積空間一定是賦範線性空間，其範數為 \(||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.\)
• 巴拿赫空間 完備的賦範線性空間，即賦範線性空間內任意柯西序列都是收斂的。
  • 希爾伯特空間一定是巴拿赫空間。

2 . 新概念

• 對偶空間

  • 如果（\(\mit V, ||\cdot||_{\mit V}\)）和 （\(\mit W, ||\cdot||_{\mit w}\)）是兩個賦範線性空間, 所有從\(\mathbf V\) 到\(\mit W\) 的線性泛函構成一個賦範線性空間 , 記為 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) . 對於 \(L \in \scr L(\mit V;\mit W)\),定義範數如下：
    \[ ||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}. \]

  • 如果\(\mit W\) 空間是一個巴拿赫空間，則 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) 也是一個巴拿赫空間。

  • 如果\(\mit W=\R\), 則稱\({\color{Red}\scr L(\mit V;\mathbf \R)}\)是 \(\mit V\) 的對偶空間，常記為\({\color{Red}\mit V‘}\).

  • 對偶對(duality pairing) 滿足下列的雙線性形式，就被稱為 \(\mit V\) 和\(\mit V‘\) 之間的對偶對，
    \[ \begin{align*} <\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V‘ \times \mit V \longrightarrow \R\&<L,v>\longmapsto L(v). \end{align*} \]

• 各種收斂性定義

  • 強收斂：賦範線性空間\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收斂於 \(v \, \in \mit V\) 是指按範數收斂，即 \(||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infin).\)

  • 弱收斂：賦範線性空間\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收斂於 \(v \, \in \mit V\) 是指 對任意一個\(L\in\mit V‘\), 均有 \(L(v_n)\) 收斂於 \(L(v),\) 即 \(|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infin).\)

  • *弱收斂：對偶空間\(\mit V’\) 中序列 \(\{L_n\}\) 弱收斂於 \(L \, \in \mit V‘\) 是指對任意一個\(v\in \mit V\), 均有

    ? \(||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infin).\)

    • \({\color{Red}\mit V 中強收斂 \Rightarrow 弱收斂.}\)
    • \({\color{Red}\mit V‘ 中弱收斂 \Rightarrow * 弱收斂.}\)

• \(\mit L^{p}(\Omega)\) 空間 \(\Omega_{開}\subset \R^{d}\),\(d\ge 1\),且 \(\Omega\) 是 Lebesgue 可測。

  • \[ \begin{align*}\mit L^{p} &:=\left\{v\,\,\big|\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx \leq \infin \right\},\,1 \leq p\, <\infin,\\mit L^{\infin} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\}<\infin. \end{align*} \]

? 其範數為
\[ \begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infin,\||v||_{\mit L^{\infin}} &:=\sup\left\{|v(x)| \big| \,\,x\in\Omega \right\} \end{align*} \]

• \(\mit L^{2}(\Omega)\) 空間實際上是賦予右側內積的希爾伯特空間，$(w,v){\mit L^{2} (\Omega)}=\int{\Omega},w(x),v(x),,dx $
  • \({\color{Red}||\cdot||_0=||\cdot||_{\mit L^{2} (\Omega)}}\)\({\color{Black}{記住}}\)
  • \(\mit L^{p}(\Omega)\) 是Banach空間（它的對偶空間為\(\mit L^{q}(\Omega)\), \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)），而只有\(\mit L^{2}\) 是Hilbert 空間(對偶空間為本身).
  • $H \ddot{o}lder \(不等式：\)\big|\int_{\Omega}, w(x)v(x)dx \big|\leq,||w||{\mit L^{p}(\Omega)}||v||{\mit L^{q}(\Omega)},,,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$
  • \(\mit L^{p}(\Omega)\) $ \subset \mit L^{q}(\Omega),,,,q\leq p.$

• 分布函數（\(Distributions\)）

  • \(\mit C^{\infin}_{0}(\Omega)\) 是 \(\Omega\) 上具有緊支集(i.e. 存在有界開集\(\Omega‘\subset \Omega\), \(d (\part\Omega,\Omega)>0\)) 無窮維可微函數函數，且在邊界上任意階導數為零, 有時也記成 \(\mathcal{D}(\Omega)\).

  • \(\mathcal{D}(\Omega)\) 中元素的導數 \(\mathcal {D}^{\alpha}v:=\frac{\part^{|\alpha|}v}{\part^{\alpha_1}x_1\part^{\alpha_2}x_2 \cdots\part^{\alpha_d}x_d},\) 其中 \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.\)

  • \(v_n \in \mathcal{D}(\Omega)\) 收斂於 \(v \in \mathcal{D}(\Omega)\) 是指 存在一個有界閉子集\(K\) 滿足對任意一個 \(n\)，\(v_n\)在\(K\) 外均為0，且對任意非負指標 \(\alpha\), 導數 \(\mathcal{D}^{\alpha}v\) 一致收斂於\(\mathcal{D}^{\alpha}v.\)

  • \(\color{Red}分布\)：\(\mathcal{D}(\Omega)\)對偶空間中的任一元素都被稱為一個分布，即分布就是\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的線性泛函，\(L \in \mathcal{D‘}(\Omega)\)和 \(v \in \mathcal{D}(\Omega),\) \(L(v)=<L,\,v>\) \(dualiy \,\,pairing.\)

  • 定義 \(\mathcal{D}(\Omega)\)的一個範數，\(||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).\)(可以自己證明一下)

  • $\mit L^{p}(\Omega) $\(\subset \mathcal{D‘}(\Omega)\), but $ \mathcal{D‘}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

    proof: step 1 證明 $\forall L \[\in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的$\mathcal{D}(\Omega)$線性泛函； \]
    \begin{align}
    L(v)&=<L,v>=\int_{\Omega}L(x)v(x),dx,\forall v \in \mathcal{D}(\Omega).\
    L(\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2)&=<L,\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2>\
    &=\alpha_1<L,v_1>+\alpha_2<L,v_2>\
    &=\alpha_1L(v_1)+\alpha_2L(v_2),,,,,,,\forall \alpha_1,\alpha_2 \in \R,v_1,v_2 \in\mathcal{D}(\Omega).
    \end{align}
    $$
    ? step 2 證明\(L\) 是連續的，即證 \(|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.\)

    ? 下面我們來證明：
    $$
    \begin{align*}
    L(v)&=\int_{\Omega}L(x)v(x),dx \leq ||L||_p||v||q\
    &\leq ||L||p(\int{\Omega}|v(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}\
    &\leq ||L||p ||v||{\mathcal{D}(\Omega)}|\Omega|^{\frac{1}{q}}\
    &\leq C||v||{\mathcal{D}(\Omega)}.

    \end{align*}
    $$
    ? step3 反證法證明 $ \mathcal{D‘}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$

    ? 假設$ \mathcal{D‘}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,$ 則由\(Risze\) 表示引理，\(\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\), 存在 \(u\in\mit{L^{p}_{\Omega}}\),

    ? 滿足下列式子

    ?

    ?

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