1.問題描述

小孩分油問題

兩個小孩去打油，一人帶了一個一斤的空瓶，另一個帶了一個七兩、一個三兩的空瓶。原計劃各打一斤油，可是由於所帶的錢不夠，只好兩人合打了一斤油，在回家的路上，兩人想平分這一斤油，可是又沒有其它工具。試僅用三個瓶子(一斤、七兩、三兩)精確地分出兩個半斤油來。

2.算法設計

令狀態R、E、S分別表示十兩、七兩和三兩的瓶子中所裝的油量。如問題所述，初始時有（R,E,S）=（10，0，0），問題要求即僅通過這三個瓶子，將油量狀態轉變為（R,E,S）=（5，5，0）。

該問題較為特殊，我們發現七兩的瓶子和三兩的瓶子所能裝的油的總量恰好為十兩。因此，我們可以將十兩的瓶子等同於一個無窮大的油桶，任何時候七兩和三兩的瓶子都可以通過這個油桶裝滿或倒空油。在這個假設下，原問題即被簡化為：初始狀態（E、S）=（0，0），要求僅通過這兩個瓶子，將狀態轉變為（E、S）=（5，0）。在這個目標狀態下，十兩的瓶子中自然裝了五兩油。

將兩個瓶子的狀態轉變以及對應的規則列表如下：

在每個狀態（E，S）下，我們均可以通過判斷E、S的值來選擇上述若幹條規則進行狀態轉變。整個狀態空間構成了一顆樹，樹根是初始狀態（R，S）=（0，0）,目標狀態（R，S）=（5，0）則可能位於某些節點中。

因為該問題的狀態空間較小，最多不超過（7*3=21）種狀態，因此在實驗中我們采用深度搜索的方法對問題進行求解。此外，為了避免對已經搜索過的狀態重復搜索，程序中定義了一個數組，用於存儲已經搜索過的狀態，僅有當當前狀態沒有在該數組中出現過時，算法才對其進行搜索，並將該狀態放入數組中。

3.程序流程

4.核心偽代碼

function isVisited(E, S): 狀態(E, S)是否搜索過，沒有則將其入棧並標記已搜索。

初始狀態(E, S) = (0, 0)，並存入棧Stack

while 棧Stack不為空：

取出棧頂元素(E, S)，並輸出

If (E, S) == (5, 0), then

分油成功，break;

if E < 7, then:

(E, S) = (7, S), isVisited(E, S)

if E < 3, then:

(E, S) = (E, 3), isVisited(E, S)

if E > 0, then:

(E, S) = (0, S), isVisited(E, S)

if S > 0, then:

(E, S) = (E, 0), isVisited(E, S)

if E > 0 and E+S <= 3, then:

(E, S) = (0, E+S), isVisited(E, S)

if S > 0 and E+S <= 7, then:

(E, S) = (E+S, 0), isVisited(E, S)

if S < 3 and E+S >= 3, then:

(E, S) = (7, S), isVisited(E+S-3, 3)

if E < 7 and E+S >= 7, then:

(E, S) = (7, S), isVisited(7, E+S-7)

end

5.代碼運行及測試

算法運行結果如下所示，經過10次操作後，準確得將油劃分為兩個五兩。

6.結論

本實驗是對狀態空間采用深搜的方法實現的。程序中設置了輔助數組用於保存已經搜索過的狀態，且該問題的狀態空間很小，因此深搜不會出現無窮解的情況。只要目標狀態設置合理且存在，深搜一定能在有限的步驟裏求得。但是在小孩分油問題中，深搜所得結果不一定為最優，廣搜下得到的結果才是最優結果。但是由於深搜易於實現且速度快，因此實驗中才選擇深搜去實現。

本實驗源碼具有較強的擴展性，只要初始狀態和目標狀態設置合理，程序均可以成功將其狀態轉換過程輸出。

7.源碼

#include<iostream>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;

struct State {
    int E; // 七兩的瓶子 
    int S; // 三兩的瓶子 
    
    State(int E, int S) {
        this->E = E;
        this->S = S;
    }
};

//  深搜輔助棧
stack<State> Stack;

// 存儲已經出現過的狀態 
vector<State> visited;

// 查詢狀態s先前是否出現過 
bool isVisited(State s) {
    vector<State>::iterator it;
    for (it = visited.begin(); it != visited.end(); it++) {
        if (it->E == s.E && it->S == s.S) return true;
    }
    return false;
}

// 倒油行為，狀態轉變
void move(State s) {
    // 查詢當前狀態先前是否訪問過
    if (!isVisited(s)) {
        visited.push_back(s);
        Stack.push(s);
    }
}

int main() {
    int E = 0, S = 0;
    int fE = 5, fS = 0;
     cout<<"Please input the initial oil of bottles："<<endl;
     cin>>E>>S;
     cout<<"Please input the final oil of bottles："<<endl;
     cin>>fE>>fS;
    Stack.push(State(E, S));

    while(!Stack.empty()) {
        State cur = Stack.top(); Stack.pop();
        E = cur.E;
        S = cur.S;
        cout<<10 - E - S<<" "<<E<<" "<<S<<endl;
        
        // 到達目標狀態 
        if (E == fE && S == fS) {
            cout<<"Successfully reach the target state:("<<fE<<", "<<fS<<")!";
            return 0;
        }
        
        // 將七兩的瓶子裝滿
        if (E < 7) move(State(7, S));
        // 將三兩的瓶子裝滿
        if (S < 3) move(State(E, 3));
        // 將七兩的瓶子倒空
        if (E > 0) move(State(0, S));
        // 將三兩的瓶子倒空
        if (S > 0) move(State(E, 0));
        // 將七兩的瓶子全部裝到三兩的瓶子上
        if (E > 0 && E + S <= 3) move(State(0, E + S));
        // 將三兩的瓶子全部裝到七兩的瓶子上
        if (S > 0 && E + S <= 7) move(State(E + S, 0));
        // 用七兩的瓶子將三兩的瓶子裝滿
        if (S < 3 && E + S >= 3) move(State(E + S - 3, 3));
        // 用三兩的瓶子將七兩的瓶子裝滿
        if (E < 7 && E + S >= 7) move(State(7, E + S - 7));
    }
    cout<<"Algorithm cannot find a solution!"<<endl;
    return 0;
}

深搜+小孩分遊問題