2018-2019-1 20189206 《深入理解計算機系統》第五週學習總結

教材學習內容總結

本章主要研究三種重要的數字表示，分別是無符號編碼、補碼編碼和浮點數編碼。其中，無符號編碼表示大於或等於零的數字，補碼編碼用來表示有符號整數，浮點數編碼是科學計數法的以2為基數的版本。

第二章 資訊的表示和處理

資訊儲存的方式

1. 最小可定址的記憶體單位————8位的塊，也稱為位元組
2. 機器級程式將記憶體視為一個非常大的陣列，稱為虛擬記憶體
3. 記憶體的每個位元組都由唯一的數字來表示，稱為地址

十六進位制表示方式

1. 一個位元組的
   對應的二進位制表示為 \(00000000_2 至 11111111_2\)
   
   對應的十進位制表示為 \(0_{10} 至 255_{10}\)
   對應的十六進位制表示為 \(00_{16} 至 FF_{16}\)（以0x或者0X開頭的數字為十六進位制表示）

2. 特殊的轉換方法

   當值x是2的非負整數的n次冪時即 \[x=2^n\] 可以將x寫成1後面加n個0的形式。
   當n表示為 n=i+4j 時（0<=i<=3），x對應的十六進位制數字可以寫成1、2、4、8後面跟J個0
   例如： \[ 512 = 2^9 \] 知 n=1+2*4 故2048對應的16進位制是 0x200

字資料大小

1. 每個計算機都有一個字長，用來指明指標資料的標稱大小。 字長決定的最重要的系統引數就是虛擬地址空間的最大大小。對於一個字長為w的機器，虛擬地址的範圍為\[ 0 至 2^w -1 \]
   程式最多訪問2^w個位元組。
2. 多位元組物件被儲存為連續的位元組序列，物件的地址為使用位元組中最小地址
   • 大端法：最高有效位元組儲存在前面（即先儲存最高有效位元組）
   • 小端法：最低有效位元組儲存在前面（先儲存最低有效位元組）
   • 假設0x01234567
     • 大端法儲存為 01 23 45 67 （地址從左至右增大）
     • 小端法儲存為 67 45 23 01 （地址從左至右增大）
3. linux32 Windows和linux64 均為小端機器，可以記為閱讀順序和儲存順序相反。

下面show_bytes函式的作用是打印出每個以十六進位制表示的位元組，其中輸入是一個位元組序列的地址。

void show_bytes(byte_pointer start,size_t len)
{
    size_t i;
    for(i=0;i<len;i++)
    {
        printf("%.2x",start[i]);
    }
    printf("\n");
}

void show_int(int x)
{
    show_bytes((byte_pointer)&x,sizeof(int));
}

實現的功能就是輸出int型每個位元組對應的十六進位制表示。

布林代數

    布林運算     邏輯運算    命題邏輯
       ~          NOT        ┐
       &          AND        ∧
       |          OR         ∨
       ∧         異或        ⊕

• 位級運算的常用用法是實現掩碼運算，掩碼錶示從一個數中選出的位的集和。
  x & 0xFF 得到的結果就是x最低有效位元組組成的值，其餘位元組被置0，之後表示式~0 得到的結果就是全為1 的掩碼。

【注】注意區分C語言中的邏輯運算與位級運算

C語言的邏輯運算是|| &&和！，分別對應命題邏輯中的OR、AND和NOT運算。邏輯運算認為所有的非零值都為真，引數零表示假，運算結果只由0和1。

邏輯運算中如果第一個引數求值就能確定表示式的值，邏輯運算不會對第二個引數求值

位移運算

• 位移運算分為左移和右移
  • 左移 X向左移，丟棄最高的k位，並在右端補0
  • 右移 X向右移，丟棄最低的k位
    • 算數右移 在左端補k個最高有效位的值
    • 邏輯右移 在左端補0

幾乎所有的編譯器/機器組合都會對有符號數使用算數右移，而對於無符號數，右移必須是邏輯右移。

整數表示

無符號數只能表示非負數，而補碼編碼能夠表示負數、0和正數。

• 無符號數的編碼

  • 無符號數的定義
    對於向量 \[ \vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0] \] 有

    \[B2U_w (\vec{x}) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i\]

  • 無符號數所能表示的值的範圍
    [0 0 …… 0] 到 [1 1 …… 1]即
    \[UMax_w = \sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w-1\]

  • 無符號編碼的唯一性
    函式B2U是一個雙射，將每一個長度為w的位向量，對映為0~2^w-1之間的唯一一個值，這種對映是一一對應的關係，即可以反向操作。

• 補碼編碼
  最常見的有符號數的計算機表示方式就是補碼形式，這種形式下，將字的最高有效位解釋為負權。

  • 補碼編碼的定義

  對於向量 \[ \vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0] \] 有

  \[B2T_w (\vec{x}) = -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i\]

  最高有效位稱為符號位，符號位為1時，表示值為負數；符號值為0時，值為非負。

  • 補碼所能表示的範圍

  它能表示的最小值是[1 0 …… 0] 其整數值為 \[TMin_w = -2^{w-1} \]
  最大值為[0 1 …… 1] 其整數值為\[TMax_w = \sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w-1\]

  • 補碼有著與無符號數相同的雙射函式
  • 最大無符號數剛好比補碼的最大值的兩倍大一\[UMax_w=2TMax_w + 1 \]

有符號數和無符號數之間的轉換

• 強制型別轉換的結果保持位不變，只是改變了解釋這些位的方式。處理同樣字長的有符號數和無符號數之間的轉換一般規則是：數值可能會改變，但是位模式不變

• 補碼轉換為無符號數

對滿足\[TMin_w\leq x \leq TMax_w \]的x有：
\[T2U_w(x) =\begin{cases} x+2^w & x <0 \\\ x & x \geq 0 \end{cases}\]

從以上表達式可以看出，將一個有符號數轉為它相應的無符號數時，負數就被轉換成了大的整數，非負數則會保持不變。

• 無符號數轉換為補碼

對滿足\[0 \leq u \leq UMax_w \]的x有：
\[U2T_w(u) =\begin{cases} u & x \leq TMax_w \\\ u-2^w & u>TMax_w \end{cases}\]

從以上表達式可以看出，講一個無符號數轉換為補碼時，U2T把大於2^w-1的數轉化成了負數。

從上述兩個公式可以看出，對於在範圍\[ 0 \leq x \leq TMax_w \]的範圍內的數字有著相同的補碼和無符號數表示。對於這個範圍以外的數需要加上或者減去2^w

• C語言中，當執行一個運算時，它的一個運算數是有符號的，另一個運算數是無符號的，那麼C語言會將有符號數強制型別轉換為無符號數，並假設這兩個數都是非負的。

擴充套件一個數字位的表示

1. 將無符號數轉換為一個更大的資料型別——零擴充套件
2. 將補碼轉換為一個更大的資料型別——符號擴充套件（新增最高有效位的值）

截斷數字

1. 截斷無符號數

令\[\vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0]\] 現截斷該位向量k位的結果是\[x' = x mod 2^k\]

1. 截斷補碼數值
   令\[\vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0]\] 現截斷該位向量k位的結果是\[x' = U2T_k（x mod 2^k）\]即把最高位的權重從正變為負。

整數運算

• 無符號加法
  定義無符號數加法，該操作是把整數和x+y截斷為w位得到的結果，再把這個結果看作是一個無符號數。可以被看作是一種形式的模運算
  對於x、y滿足\[ 0 \leq x,y<2^w \]有：
  \[x + y =\begin{cases} x+y & x+y \leq 2^w \\\ x+y-2^w & 2^w \leq x+y <2^{w+1} \end{cases}\]

當x+y的結果s小於x或者小於y的時候，可以判定無符號數的加法出現了溢位。

• 無符號數求反

模數加法形成了一個阿貝爾群，對於每個x值必定有有一個加法逆元。
對於滿足\[ 0 \leq x <2^w \]的任意x值，其無符號加法逆元為
\[- x =\begin{cases} x & x=0 \\\ 2^w-x & x>0 \end{cases}\]

• 補碼加法
  對於滿足\[-2^{w-1} \leq x,y \leq 2^{w-1}-1 \]的整數x和y 有
  \[x + y =\begin{cases} x+y-2^w & 2^{w-1} \leq x+y & 正溢位 \\\ x+y & -2^{w-1} \leq x+y <2^{w-1} &正常\\\ x+y+2^w & x+y<-2^{w-1} & 負溢位 \end{cases}\]

• 補碼的非
  對於滿足\[ TMin\_w \leq x <TMin\_w \]的任意x值，其補碼的非為
  \[- x =\begin{cases} TMin\_w & x=TMin\_w \\\ -x & x>TMin\_w \end{cases}\]

• 無符號和補碼乘法
  將一個數截斷w就等價於計算該值的模2^w
  對於無符號和補碼乘法來說，乘法運算的位級表示都是一樣的。

• 乘以常數

由於在大多數機器上，整數乘法的指令需要10個或者更多的時鐘週期，其他整數運算只需要1個時鐘週期。編譯器使用了優化，試著用位移和加法的運算組合代替乘以常數因子的乘法。
原理： 設x的位模式為 \([x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0]\)表示無符號整數，那麼對於任何$k \leq 0 $都認為 \([x_{w-1},x_{w-2},\cdots,x_0,0,0,\cdots,0]\) 給出了 \(x*2^k\) 的w+k位的無符號表示，右邊增加了k個0。
可以看出，左移一個數值相當於執行一個與2的冪相乘的無符號乘法

例如：一個程式包含表示式 x*14 利用 $14 =2^3+2^2+2^1 $ 可以將該乘法重寫(x<<3)+(x<<2)+(x<<1),將一個乘法替換為位移和兩個加法。
或者利用 $14 =2^4-2^1 $ 重寫成 (x<<4)-(x<<1)

• 除以2的冪
  • 除以2的冪的無符號除法
    假設有無符號數值x和k，且 $0 \leq k <w $ 則表示式 x>>k 產生結果\(\lfloor x/2^k \rfloor\)
  • 除以2的冪的補碼除法
    假設有補碼數值x和無符號數值k，且 $0 \leq k <w $ 則表示式執行算術位移 x>>k 產生結果\(\lfloor x/2^k \rfloor\)

浮點數

• 二進位制小數
  表示方法：$ b_m b_{m-1} \cdots b_1 b_0.b_{-1} b_{-2} \cdots b_{-n} $
  這個表達描述的定義如下：
  \[b = \sum_{i=-n}^{m}2^i*d_i \]

• IEEE浮點表示
  • 浮點標準用\[ V= (-1)^s * M * 2^E \] 來表示一個數
    • 符號：s決定了這個數是負數（s=1）還是正數（s=0）
    • 尾數：M是一個二進位制小數，範圍是1~2-ε 或者 0~1-ε
    • 階碼：E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪
  • 將浮點數的位表示劃分為3個欄位，分別對這些值編碼
    • 一個單獨的符號位s
    • k位的階碼欄位\(exp=e_{k-1} \cdots e_1 e_0\)編碼階碼E
    • n位的小數字段$frac=f_{n-1} \cdots f_1 f_0 $編碼尾數M
  • 規格化的值
    • exp的位模式不會全為0或全為1 階碼欄位被表示為以偏置形式表示的有符號整數。E= e-bias e為無符號數 \(bias=2^{k-1}-bais\)
    • 小數字段frac，尾數定義為M=1+f
  • 非規格化的值
    • 階碼E全為0時是非規格化的形式，此時 E=1-Bias 尾數值M=f
  • 特殊值
    • 階碼全為1時，得到的值表示無窮

【注】浮點運算只由有限的範圍和精度，並且不遵守結合律。

總結

本章重點在於用數學公式準確定義出計算機中使用的幾種資料型別，內容很多，需要好好總結和複習。通過直接運算元字級的位表示，得到了幾種算數運算的方式。針對不同的機器，變數型別儲存的大小也不同、儲存方式不同，為了能使編寫的程式在全部範圍內正確工作，可以實現跨越不同的機器、作業系統和編譯器的組合，對於這種數學原理的學習是十分重要的。
第二章主要從資訊儲存的方式、整數表的方法（無符號編碼、補碼編碼）以及相關操作、整數運算（無符號運算、補碼運算）、浮點數（兩種表示方式）等方面介紹了資料的儲存表示方式，進行計算的結果等內容。