圖的簡介

我們先回顧一下之前介紹的樹的概念，在樹的定義中，每個節點只能有一個父類，並且樹中不能出現有環形。但是你可曾想過，當一棵樹沒有任何規則的時候，會發生什麼嗎？
現在，我們給圖（graph）下一個定義：
圖，是一種用節點和邊來表示相互關係的數學模型。（A graph is a mathematical structure for representing relationships using nodes and edges）
其實，用句不是很嚴謹的話來說，圖可以看成是沒有任何限制的樹（比如，可以有環狀，可以有多種關係等等）。
下圖是圖但它們不是一棵樹：


從圖二中我們也可以看出，圖沒有固定的root。

圖的基本結構

我們剛剛說了，圖是由一系列的節點通過一系列的邊連線在一起的，所以大體的圖的資料結構可以為：

struct Graph{
    set<Node *> nodes;
    set<Edge*> edges;
};

而具體的節點和邊我們可以這樣表示：

struct Node{ //節點的資料結構
    string value; //節點中的數值
    vector<Edge *> edges;//連線該節點的邊
};
struct Edge{//邊的資料結構
    Node * start;//邊的起點
    Node * end;//邊的終點
 

};

我們經常在圖的邊上新增一些數值，成為邊的權重，用weight表示，於是我們的邊上的資料結構也可以這樣定義為：

struct Edge{
    Node * start;//邊的起點
    Node * end;//邊的終點
    double weight; //權
};

與圖相關的一些概念

有向圖與無向圖

在離散數學課程中，我們學過圖這個基本的數學結構還有它的一些概念，現在回顧一下：

下圖中，每個表情可以看做是一個節點（也常稱為頂點），而黑色的線將每個節點連線起來，稱為邊。
如圖中的每一條邊，如果有表明方向，有起點終點，這樣的圖我們稱為有向圖（Directed Graph

權重與權重圖

權重：與給定邊之間的相關的成本。
例如航空公司航班圖表，按城市之間的里程加權：

先決條件圖

顧名思義，前面的事物要建立在後面的基礎上

與圖相關的一些術語

下面看一副圖

• 路徑（path）：從某個頂點到另一個頂點之間的路徑，可以用經過的點或者經過的邊來表示。例如從V到Z，所經過的路徑可以表示為：
  {b, h} 或者{V, X, Z}
• 路徑長度（path length）：路徑中包含的節點數或者邊的數量
• 鄰居（neighbor）：通過一條邊直接相連的兩個節點，稱為鄰居，例如圖中的V和X
• 環（cycle）：路徑的起點跟終點都是在同一個節點中的路徑。例如（紅色線條）和藍色線條
  路徑：{b, g, f, c, a} 或者 {V, X, Y, W, U, V}，還有 .{c, d, a} 或者{U, W, V, U}.
  
• 無環圖：圖中不包含任何的環狀的圖
• 迴圈（loop）：連線自身頂點的邊。許多圖中是不允許包含有迴圈的
  
• 可達（reachable）：如果存在一條路徑，使得a能夠到達b，就稱a到b可達
• 連通（connect）：如果圖中每一個頂點都能相互可達，那麼我們就稱這圖是連通的，稱為連通圖
• 完全圖（complete）：如果圖中的 每個頂點都有一條邊可以直達每個頂點，那麼稱這樣的圖為完全圖。