【編碼】量子攻擊原理：量子糾纏（一）

阿新 • • 發佈：2018-11-10

量子糾纏

量子糾纏是兩個量子形成的疊加態。一對具有量子糾纏態的粒子，即使相隔極遠，當其中一個狀態改變時，另一個狀態也會即刻發生相應改變。

量子糾纏被愛因斯坦稱為“鬼魅般的超距相互作用”。量子糾纏會違反著名的“貝爾不等式”，因此檢驗貝爾不等式成為驗證量子力學是否正確的主要標誌之一。

什麼叫做量子通訊？

量子通訊主要有兩種方式，一種是利用量子的不可克隆性質生成量子密碼，他是二進位制形式的，可以給經典的二進位制資訊加密，這種通訊方式稱為“量子金鑰分發”。我們下一節會單獨介紹。

第二種是利用量子糾纏用來傳輸量子資訊的最基本單位——量子位元。兩個處於糾纏態的粒子A和B，不論它們分開多遠，我們把其中一個粒子（A）和攜帶想要傳輸的量子位元的粒子（C）一起測量一下，C的量子位元馬上消失，但是B就馬上攜帶上了C之前攜帶的量子位元，我們把這個過程叫做“量子隱形傳態”。

根據量子力學“不確定性原理”，處於糾纏態的兩個粒子，在被觀測前，其狀態是不確定的，如果對其中一粒子進行觀測，在確定其狀態的同時（比如為上旋），另一粒子的狀態瞬間也會被確定（下旋）。

什麼叫做量子通訊？

（以下轉自：https://www.zhihu.com/question/37397242/answer/72009930）

先說結論，量子糾纏是時空拓撲性質的物理表現
通過將物理問題代數化，代數問題幾何化，在一些時候可以對物理問題進行深入討論。
不過，這是一個非常困難而深刻的問題，因為提及了“機制”，而不是簡單的“定義”。該問題遠超本人能力水平，故只做最基本的討論。關於糾纏機制，主要的idea基於一種Toy model，也就是 topological entanglement（拓撲糾纏），研究不同態之間的代數結構和演變規律。
正如GR的四維時空有對應的Riemann幾何，量子理論Hilbert空間也有相應的幾何。

一、定義（quantum entanglement）
首先對這裡的“量子糾纏”（quantum entanglement）做最基本的定義和限定。不可分離態，即糾纏態，是系統中不可寫成子系統態直積形式的純態。
用數學語言就是：子系統Hilbert空間 $H_{A}$ 、 $H_{B}$ 對應的複合系統Hilbert空間 $H_{AB}=H_{A}\otimes H_{B}$
子系統量子態 $|\psi _{A} \rangle$ 、 $|\psi _{B} \rangle$ ，若複合系統量子態 $|\psi _{AB} \rangle$ 不能寫成 $|\psi _{A} \rangle\otimes |\psi _{B} \rangle$ 的形式，則稱這複合系統為子系統A、B的糾纏系統，兩個子系統A、B相互糾纏。
（其實絕大多數純態都是糾纏的，因為糾纏態在複合空間中是稠密的）
注意到雖然這個定義是平凡的，但是有一個常見的誤解就是混淆了“糾纏”和“關聯”。因為關聯不意味著糾纏，比如態
$|\uparrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle + |\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle + |\downarrow\rangle \otimes |\uparrow\rangle$
雖然表示自旋取向的關聯，但不是糾纏態，因為可以分解為直積態 $( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle )\otimes ( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle )$

二、特徵（關聯坍塌）
2.1 關聯坍塌
糾纏態引起人們興趣的關鍵特徵在於“關聯坍塌”。比如一種Bell態
$|\Psi ^{+} \rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2} } \left\{ |0 \rangle_{A} \otimes |1 \rangle_{B} + |1 \rangle_{A} \otimes |0 \rangle_{B} \right\}$
A坍塌到0態，B同時確定的關聯坍塌到1態；A坍塌到1態，B也同時確定的關聯坍塌到0態。注意到這個過程是非定域的，同時的。因為B粒子狀態的坍塌是A+B系統測量坍塌不可分割的一部分。
（其實關於測量與坍塌目前有很多理論，按照主流的退相干理論，坍塌就是量子系統與環境發生的難以避免的量子糾纏，也就是退相干。退相干理論的好處在於保留了么正演化的完備性）
2.2 非定域性現象
通過對Bell態的討論，我們知道，兩粒子各自的自旋取向均依賴於對方而處於一種不確定的狀態。這是一種不依賴與時空變數的關聯。這裡不存在什麼類似於“自旋態坍塌波”的“空間傳播”。這是一種瞬時的、非定域的、不可阻斷的、超時空的關聯坍塌。而理解和描述這種時空整體性質，自然需要引入新的數學工具和物理影象。這是接下來需要詳細討論的。

三、量子糾纏的拓撲性質
3.1 拓撲性的引入
3.1.1 經典定域性描述
採用時空變數 $x=({\bf x },t)$ 描述的物理過程稱為定域描述。一個相互作用的物理過程，如果只和當地的時空變數（至多包含無限小鄰域，考慮到微分描述）有關，就稱為定域的物理過程。目前幾乎所有的物理理論都是定域描述，比如經典場論（場本身就是空間上的函式，比如某一空間點上的場量）等等。自然地，目前主流的量子理論，也是定域性描述。
3.1.2 非定域描述
一種平凡的非定域描述是彌散性的，本質上依然是基於時空變數的。指的是某處的物理過程依賴於另一處場量。這種描述隱含超距作用，即使忽略物理意義，也缺乏處理價值。下面主要考慮另一種非定域描述，即“拓撲性描述”。
3.2 拓撲性描述
拓撲性描述是一種不依賴於空間變數的秒數。也就是說，物理過程除了受勢場中改點領域微分量的局域作用（只涉及局域性質），還受到勢場非平庸整體性質的影響，而這是一種難以用定域方式表達的非局域性質，在數學上就是對應著某種拓撲性質。
先考慮一個有關非定域性著名的例項。這就是Aharonov-Bohm(AB)效應，也就是磁弦通入電流改變時干涉圖樣發生的平移現象。

&amp;lt;img src="https://pic2.zhimg.com/e5c49ecaff7c314da0151d1a9b7c9159_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

由於電子雙縫實驗保證兩縫處電子波函式相干分解，所以兩縫處電子波函式的相位差固定，不妨假設固定的相位差為0，就簡化為下圖
&amp;lt;img src="https://pic3.zhimg.com/3474bb2b5d12b7f30249f344f14f5bae_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

由我們熟知的定態Schrödinger方程，細螺線管通電前

$\frac{{\bf p}^{2} }{2\mu }\varphi _{0}({\bf r}) = E \varphi _{0}({\bf r})$

$\varphi _{0}({\bf r},t)= \varphi _{0}({\bf r}) e^{-iEt/\hbar}$

c點的合振幅為

$f_{c}^{(0)}= f_{1}^{(0)}(c)+f_{2}^{(0)}(c)$

通電之後，方程中

${\bf p}\rightarrow {\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}$

解得

$\varphi ({\bf r})=e^{\frac{ie}{\hbar c}\int_{a}^{{\bf r}}{\bf A}({\bf r^{'}})d{\bf r^{'}} }\varphi _{0} ({\bf r})$

所以c點的和振幅為

$f_{c} =e^{\frac{ie}{\hbar c}\int_{a,1}^{{c}}{\bf A}d{\bf l} }f_{1}^{(0)} +e^{\frac{ie}{\hbar c}\int_{a,2}^{{c}}{\bf A}d{\bf l} }f_{2}^{(0)}$

$f_{c} =e^{\frac{ie}{\hbar c}\int_{a,1}^{{c}}{\bf A}d{\bf l} }\left\{ f_{1}^{(0)}(c)+e^{\frac{ie}{\hbar c}\oint_{}^{} {\bf A}d{\bf l} }f_{2}^{(0)}(c) \right\}$

注意到大括號外的相因子只是從路徑1積分得到的外部相因子，沒有可觀測的物理效應，可以略去。而大括號內部的相是新增加的內部因子，改變了電子在c點的相位差，從而改變了雙縫干涉的極值位置。內部相因子

$exp\left\{ {\frac{ie}{\hbar c}\oint_{}^{} {\bf A}\cdot d{\bf l}} \right\} =exp\left\{ {\frac{ie}{\hbar c}\iint(\nabla\times {\bf A})\cdot d{\bf S}} \right\}=exp\left\{ \frac{ie}{\hbar c}\phi \right\}$

其中 $\phi$ 是路徑1、2包圍的磁通。特別的，這個相因子的表示式不包含粒子的動力學參量，所以這個相因子和粒子的動力學狀態無關。經過簡單的驗算（就是替換為張量形式 $A_{\mu }$ 、 $x_{\mu }$ ）,這個相因子滿足規範不變性。
到此為止，事情已經有點頭緒了。滿足
1、Lorentz變換協變
2、規範不變
的物理量，不僅僅有場強張量

$F_{\mu\nu }=\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu }A_{\mu}$ ，

還有相因子

$exp\left\{ {\frac{ie}{\hbar c}\oint_{}^{} {\bf A}\cdot d{\bf l}} \right\}$

所以（事實上的確是這樣）該相因子可以作為物理量，表現出測量效應。
而且，場強張量等經典物理量只是關於勢場（在某點及其至多無窮小鄰域）的微分量，只表徵了勢場的局域性質。而該相因子，不是微分量而是積分量，所以可以體現勢場的整體性質。也就是說，AB效應本質上是電磁勢作為空間場的整體拓撲性質的物理體現（該矢勢場不是曲面單聯通區域，而是曲面多聯通區域），而經典（非量子）的電磁現象只是電磁勢場的局域性質的物理體現（無法體現勢場的非平庸拓撲性質）。

&amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/6335a55bda8e18269244b55529d5c787_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

P.S.這個相因子是更一般的Berry相因子在最簡單的Abel規範場（電磁場）下的特例，體現了電磁勢場的拓撲性質。Berry phase的顯著特徵是其不可積性，實際上來自於系統Hamiltonian內含輔助空間的整體幾何性質。
Berry phase的一個幾何的類比是Hannay Angle，也就是數學中的Holonomy。這是一個非常有趣而深刻的問題，但不是這個問題需要討論的重點。有興趣的話可wiki一下。
現在對非定域性和拓撲性質都有了粗淺的瞭解，下面回到量子糾纏。

四，量子糾纏與拓撲糾纏
4.1 直觀例子
拓撲糾纏是拓撲系統非定域的整體性質，同樣量子糾纏是量子系統非定域的整體性質。首先我們考慮環繞數為1的情況，對應著最簡單的 Hopf 鏈環

&amp;lt;img src="https://pic3.zhimg.com/b11148ef069ec90f44f2215151d23ad6_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

這裡的的兩部分組成了一個 Hopf 鏈環，而和兩個不相交的部分具有不同的拓撲性質。
對應著量子力學裡最簡單的糾纏態，Bell態
$|\Psi ^{+} \rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2} } \left\{ |0 \rangle_{A} \otimes |1 \rangle_{B} + |1 \rangle_{A} \otimes |0 \rangle_{B} \right\}$
同樣的， Borromean rings
&amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/194918cb8880f9789c28e3d03eea0057_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

對應著GHZ態

$|\psi \rangle=(|\alpha _{1} \rangle|\alpha _{2} \rangle|\alpha _{3} \rangle-(|\beta _{1} \rangle|\beta _{2} \rangle|\beta _{3} \rangle)/\sqrt{2}$

破壞拓撲系統的部分的環繞，或者對糾纏子系統進行測量，都會造成整體拓撲性質改變或者量子態的關聯坍塌。這意味著拓撲與代數的結構與糾纏態可能存在某種需要討論的關係。
4.2 糾纏運算元（ Entanglement operators）
4.2.1 braid group
定義Artin braid group（辮群） $B_{n}$

$B_{n}=\langle \sigma_{1},...,\sigma_{n-1}|\sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i}=\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1},\sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i} \rangle$
$1\leq i\leq n-2,|i-j|\geq 2$

這就構成了一個群，關於這個群有一個直觀的理解：辮理論（Braid）討論的是一系列相互糾纏的弦。辮子就是從一組點向另一組點延伸的弦的集合，對應的置換運算元就是辮子的糾纏（因此得名），就像這樣（ $B_{4}$ ）

&amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/e204eae03c12af0c9d36c1519b8b0d83_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

辮子的正搭和反搭對應著變換和逆變換
&amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/e708d0296f2dd604d17dbd06e69b5253_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

braid group在楊振寧的Yang–Baxter equation中起著非常關鍵的作用，在後面會用到這方面的結論，有興趣的話看這個論文 http://arxiv.org/abs/math-ph/0606053
本質上也可以看成是對空間（或者拓撲空間）的一個運算元。將一個拓撲範疇態射到另一個拓撲範疇。
下面繼續討論拓撲糾纏（Braid）和量子糾纏的關係。
4.2.2 Yang–Baxter equation
從辮群的角度來看，酉運算元（物理上習慣稱為“么正算符”，么正算符有著很好的性質，在么正算符的作用下，物理規律保持不變）都對應著辮子相應的拓撲結構，數學上的抽象使我們有了探索運算元間糾纏特性的可能。考慮到酉運算元，為了討論拓撲糾纏和量子糾纏的深層聯絡，接下來自然要關注Artin辮群的酉表示。
對酉表示的詳細討論是極端複雜的，這裡只討論一種最簡單的情形。我們在這種情形下將發現拓撲與量子糾纏的本質聯絡。特別注意，這裡的每一個辮子代表了一種態射（廣義的對映），而不是一個態，下面的方框就是一個辮子，完成了一次態射
&amp;lt;img src="https://pic4.zhimg.com/707cfe1ea9529296703bd60fe677d3e3_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

考慮最簡單的非平凡情況， $n=2$ 的時候兩條辮子對應了一個態射運算元 $R$

$R:V\otimes V\rightarrow V\otimes V$

其中 $V$ 是一個完備向量空間（為了簡化問題，限定它是二維的）
下面這張圖直觀的表示了Yang–Baxter equation

&amp;lt;img src="https://pic3.zhimg.com/ed91480a84105428270b1c63af20157a_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

這張圖的意思就是 $V\otimes V\otimes V$ 在該運算元組合作用下置換回自身，用常規的代數語言表示就是著名的Yang–Baxter equation（ $I$ 是單位運算元）

$(R\otimes I)(I\otimes R)(R\otimes I)=(I\otimes R)(R\otimes I)(I\otimes R)$

這個方程顯示了Artin辮群最重要的拓撲性質，這也是辮群可表示的主要條件。這樣可以定義一個Artin群表示 $\tau$

$\tau (\sigma _{k})=I\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes I\otimes R\otimes I\cdot \cdot \cdot \otimes I$

其中R在第k和k+1個張量積之間，且滿足Yang–Baxter equation並且存在逆元
既然這樣，接下來我們考察一種代表性的矩陣R。在量子力學中，R對應著某種量子邏輯閘，量子邏輯閘可以用多種物理系統來實現，比如核磁共振（NMR）、量子點、離子阱、半導體矽基、Josephson結等等。本質上量子邏輯閘是量子態實際操控的數學抽象，而R本身是實現拓撲糾纏的態射運算元。接下來我們將證明，R對量子態的作用可以實現量子糾纏。

&amp;lt;img src="https://pic2.zhimg.com/412784706eeb2ff72099685f3b0544a9_b.jpg" class="content_image"&amp;gt;

a,b,c,d是複平面單位圓環上的任意標量，R是酉矩陣
（更一般的，給出了滿足Yang–Baxter equation的R的解

$x_{kl}^{ij}=\delta _{l}^{i}\delta _{k}^{j}M_{ij}$

其中 $M_{n\times n}$ 為每一行在複平面的單位圓上的 $n$ 階方陣）
下面討論 $n=2$ 的情況
考慮量子態

如果 $\phi$ 可以寫成直積態（可分解態），則不是糾纏態。對應著
$ab=cd$ 的情況
所以，如果 $ab\ne cd$ ，則 $\phi$ 是一糾纏態

【編碼】量子攻擊原理：量子糾纏（一）

【編碼】量子攻擊原理：量子糾纏（一）

【caffe】在windows平臺中安裝caffe（一）：基礎安裝及簡單測試

【gulp】前端自動化工具---gulp的使用（一）------【凡塵】

【轉載】微信小程式-開發入門（一）

【SpringMVC】7.REST風格的CRUD實戰（一）之前期工作

【OpenStack】metadata在OpenStack中的使用（一）

【譯】在Heroku上部署Django應用（一）

【25】手把手教你響應式佈局（一）

【Docker】基於例項專案的叢集部署（一）安裝環境搭建

【原創】python3將圖片寫入mysql資料庫（一）

【G】開源的分散式部署解決方案（一）

【SylixOS】QT程式啟動載入流程簡介（一）

【LDU】新生訓練營杭電100題（一）

【Android】AndroidStudio編寫外掛超詳細教程（一）

【譯】深入理解G1的GC日誌（一）

【extjs6學習筆記】0.1 準備：基礎概念（02）

函式和常用模組【day04】：函式介紹（一）

【4】Caffe學習系列：啟用層（Activiation Layers)及引數

【3】Caffe學習系列：視覺層（Vision Layers)及引數

【視訊】超級賬本HyperLedger：Fabric原始碼走讀(一)：專案構建與程式碼結構

【編碼】量子攻擊原理：量子糾纏（一）

相關推薦