資料結構之圖的最小生成樹
阿新 • • 發佈：2018-11-11
我們把構造連通網的最小代價生成樹稱為最小生成樹，找連通網的最小生成樹，經典的有兩種演算法：普里姆演算法（Prim）和克魯斯卡爾演算法（Kruskal）。
普里姆演算法
有如下鄰接矩陣，9個頂點，左側數字為行號，INFINITY為極大值65535，MAXVEX為頂點個數最大值，此處大於等於9即可。
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)/* Prim演算法生成最小生成樹 */
{
int min, i, j, k;
int adjvex[MAXVEX]; /* 儲存相關頂點下標 */
int lowcost[MAXVEX]; /* 儲存相關頂點間邊的權值 */ - 建立兩個一維陣列lowcost和adjvex，長度都為頂點個數9。
- 第6-7行我們分別給這兩個陣列的第一個下標位賦值為0，arjvex[0]=0 。意思是從頂點v0開始，lowcost[0]=0就表示v0已經被納入到最小生成樹中，之後凡是lowcost陣列中的值被設定為0就是表示此下標的頂點被納入最小生成樹。
- 第8-12行表示我們讀取鄰接矩陣的第一行資料。將數值賦值給lowcost陣列，所以此時lowcost陣列值為{0，10，65535，65535，65535，11，65535，65535，65535}，而arjvex則全部為0。此時，我們已經完成了整個初始化的工作，準備開始生成。
- 第13-36行，整個迴圈過程就是構造最小生成樹的過程。
- 第15-16行，將min設定為一個極大值65535，它的目的是為了之後找到一定範圍內的最小權值。j是用來做頂點下標迴圈的變數，k是用來儲存最小權值的頂點下標。
- 第17-25行，迴圈中不斷修改min為當前lowcost陣列中最小值，並用k保留此最小值的頂點下標。經過迴圈後，min=10，k=1。lowcost[j]!=0表示已經是生成樹的頂點不參與最小權值的查詢。
- 第26行，因k=1，adjvex[1]=0，所以列印結果為（0,1），表示v0至v1邊為最小生成樹的第一條邊。
- 第27行，此時因k=1，我們將lowcost[k]=0，就是說頂點v1納入到最小生成樹中，此時lowcost陣列值為{0,0,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}。
- 第28-35行，j迴圈由1至8，因k=1，查詢鄰接矩陣的第v1行的各個權值，與lowcost的對應值比較，若更小則修改lowcost值，並將k值存入adjvex陣列中。因第v1行有18,16,12均比65535小，所以最終lowcost為{0,0,18,65535,65535,11,16,65535,12}。adjvex陣列的值為：{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。第30行if判斷的lowcost[j]!=0說明v0和v1已經是生成樹的頂點，不參與最小權值的比對。
- 再次迴圈，第15行到第26行，此時min=11,k=5,adjvex[5]=0。因此列印結構為（0，5）。表示v0至v5邊為最小生成樹的第二條邊：
- 接下來執行到第36行，lowcost陣列的值為{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12} ，adjvex陣列的值為：{0,0,1,0,5,0,1,0,1}。
- 如此迴圈，最終得到生成樹。
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535
typedef int Status; /* Status是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如OK等 */
typedef struct
{
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 構件圖 */
{
int i, j;
/* printf("請輸入邊數和頂點數:"); */
G->numEdges = 15;
G->numVertexes = 9;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
{
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i == j)
G->arc[i][j] = 0;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
}
}
G->arc[0][1] = 10;
G->arc[0][5] = 11;
G->arc[1][2] = 18;
G->arc[1][8] = 12;
G->arc[1][6] = 16;
G->arc[2][8] = 8;
G->arc[2][3] = 22;
G->arc[3][8] = 21;
G->arc[3][6] = 24;
G->arc[3][7] = 16;
G->arc[3][4] = 20;
G->arc[4][7] = 7;
G->arc[4][5] = 26;
G->arc[5][6] = 17;
G->arc[6][7] = 19;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for (j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
}
}
/* Prim演算法生成最小生成樹 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
int min, i, j, k;
int adjvex[MAXVEX]; /* 儲存相關頂點下標 */
int lowcost[MAXVEX]; /* 儲存相關頂點間邊的權值 */
lowcost[0] = 0;/* 初始化第一個權值為0，即v0加入生成樹 */
/* lowcost的值為0，在這裡就是此下標的頂點已經加入生成樹 */
adjvex[0] = 0; /* 初始化第一個頂點下標為0 */
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 迴圈除下標為0外的全部頂點 */
{
lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 將v0頂點與之有邊的權值存入陣列 */
adjvex[i] = 0; /* 初始化都為v0的下標 */
}
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
{
min = INFINITY; /* 初始化最小權值為∞， */
/* 通常設定為不可能的大數字如32767、65535等 */
j = 1; k = 0;
while (j < G.numVertexes) /* 迴圈全部頂點 */
{
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)/* 如果權值不為0且權值小於min */
{
min = lowcost[j]; /* 則讓當前權值成為最小值 */
k = j; /* 將當前最小值的下標存入k */
}
j++;
}
printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 列印當前頂點邊中權值最小的邊 */
lowcost[k] = 0;/* 將當前頂點的權值設定為0,表示此頂點已經完成任務 */
for (j = 1; j < G.numVertexes; j++) /* 迴圈所有頂點 */
{
if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
{/* 如果下標為k頂點各邊權值小於此前這些頂點未被加入生成樹權值 */
lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 將較小的權值存入lowcost相應位置 */
adjvex[j] = k; /* 將下標為k的頂點存入adjvex */
}
}
}
}
int main(void)
{
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
MiniSpanTree_Prim(G);
system("pause");
return 0;
}
執行結果為：
<0，1>
<0，5>
<1，8>
<8，2>
<1，6>
<6，7>
<7，4>
<7，3>
克魯斯卡爾演算法
普里姆演算法是以某頂點為起點1，逐步找各頂點上最小權值的邊來構建最小生成樹的。同樣，我們也可以直接就以邊為目標去構建，因為權值在邊上，直接去找最小權值的邊來構建生成樹也是很自然的想法，只不過構建時要考慮是否會形成環路而已。此時邊集陣列結構的定義程式碼為：
/*對邊集陣列Edge結構的定義*/
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
}Edge;
於是克魯斯卡爾演算法程式碼如下，左側數字為行號。其中MAXEDGE為邊數量的極大值，此處大約等於15即可，MAXVEX為頂點個數最大值，此處大於等於9即可。
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef int Status; /* Status是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如OK等 */
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535
typedef struct
{
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
}Edge; /* 對邊集陣列Edge結構的定義 */
/* 構件圖 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
int i, j;
/* printf("請輸入邊數和頂點數:"); */
G->numEdges = 15;
G->numVertexes = 9;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
{
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i == j)
G->arc[i][j] = 0;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
}
}
G->arc[0][1] = 10;
G->arc[0][5] = 11;
G->arc[1][2] = 18;
G->arc[1][8] = 12;
G->arc[1][6] = 16;
G->arc[2][8] = 8;
G->arc[2][3] = 22;
G->arc[3][8] = 21;
G->arc[3][6] = 24;
G->arc[3][7] = 16;
G->arc[3][4] = 20;
G->arc[4][7] = 7;
G->arc[4][5] = 26;
G->arc[5][6] = 17;
G->arc[6][7] = 19;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for (j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
}
}
/* 交換權值 以及頭和尾 */
void Swapn(Edge *edges, int i, int j)
{
int temp;
temp = edges[i].begin;
edges[i].begin = edges[j].begin;
edges[j].begin = temp;
temp = edges[i].end;
edges[i].end = edges[j].end;
edges[j].end = temp;
temp = edges[i].weight;
edges[i].weight = edges[j].weight;
edges[j].weight = temp;
}
/* 對權值進行排序 */
void sort(Edge edges[], MGraph *G)
{
int i, j;
for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
{
for (j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
Swapn(edges, i, j);
}
}
}
printf("權排序之後的為:\n");
for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
{
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
/* 查詢連線頂點的尾部下標 */
int Find(int *parent, int f)
{
while (parent[f] > 0)
{
f = parent[f];
}
return f;
}
/* 生成最小生成樹 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i, j, n, m;
int k = 0;
int parent[MAXVEX];/* 定義一陣列用來判斷邊與邊是否形成環路 */
Edge edges[MAXEDGE];/* 定義邊集陣列,edge的結構為begin,end,weight,均為整型 */
/* 用來構建邊集陣列並排序********************* */
for (i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
{
for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
{
if (G.arc[i][j]<INFINITY)
{
edges[k].begin = i;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = G.arc[i][j];
k++;
}
}
}
sort(edges, &G);
/* ******************************************* */
for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
parent[i] = 0; /* 初始化陣列值為0 */
printf("列印最小生成樹：\n");
for (i = 0; i < G.numEdges; i++) /* 迴圈每一條邊 */
{
n = Find(parent, edges[i].begin);
m = Find(parent, edges[i].end);
if (n != m) /* 假如n與m不等，說明此邊沒有與現有的生成樹形成環路 */
{
parent[n] = m; /* 將此邊的結尾頂點放入下標為起點的parent中。 */
/* 表示此頂點已經在生成樹集合中 */
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
}
int main(void)
{
MGraph G;
CreateMGraph(&G);
MiniSpanTree_Kruskal(G);