拉格朗日函式有什麼用？
在約束最優化問題中，常常利用拉格朗日對偶性將原始問題轉換為對偶問題，通過解對偶問題而得到原始問題的解。
原始問題：
假設 $f\left(x\right),C_i$

現在如果不考慮約束條件，原始問題就是： $minf(x)，x∈R^n$因為 $f(x)$是連續可微分的，對 $f(x)$求導數，然後令 $f'(x)=0$，就可以求出最優解。

但是現在是有約束的，求解 $f'(x)=0$的解有可能是不在定義域的，所以需要想辦法將有約束優化問題轉換為無約束最優化問題。

廣義的拉格朗日函式可以將有約束最優化轉換為無約束最優化問題。
廣義的拉格朗日函式：
$L(x,α,β)=f(x)+\displaystyle\sum_{i=0}^{k}α_ic_i(x)+\displaystyle\sum_{j=1}^{l}β_jh_j(x)$
其中 $x=(x^{(1)}，x^{(2)}，……x^{(n)}),α_i,β_j$是拉格朗日乘子，特別要求 $α_i≥0$

考慮x的函式： $θ_p(x)=maxL(x,α,β),α,β且α_i≥0$,p表示原始問題。

這個式子可以這樣理解：首先，把 $L(x,α,β)$看做是α,β的函式，優化就是確定α,β的值使得 $L(x,α,β)$取得最大值（此過程中把x看做常量），確定了α,β的值，就可以得到 $L(x,α,β)$的最大值，因為α,β已經確定，顯然 $θ_p(x)=maxL(x,α,β)$就只是和x有關的函式。

接下來看看 $θ_p(x)=maxL(x,α,β),α,β且α_i≥0$,p表示原始問題。是不是與上面的原始問題等價？

假設給定的某個x，如果x違反原始問題的約束條件，即存在某個i使得 $c_i(x)>0$或者存在某個j使得 $h_j(x)≠0$那麼就有：
$θ_p(x)=maxL(x,α,β)=f(x)+\displaystyle\sum_{i=0}^{k}α_ic_i(x)+\displaystyle\sum_{j=1}^{l}β_jh_j(x)=+∞$