樹狀陣列的原理及實現
對於樹狀陣列，它的查詢和修改的時間複雜度都是
log(n)，空間複雜度則為O(n)，這是因為樹狀陣列通過將線性結構轉化成樹狀結構，從而進行跳躍式掃描。通常使用在高效的計算數列的字首和，區間和。
附上一張圖便於理解
C1 = A1 C2 = A1+A2 C3 = A3 C4 = A1+A2+A3+A4 C5 = A5 C6 = A5+A6 C7 = A7 C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
為什麼我們要用樹狀陣列，現在給出兩個樣例
1.
10000個正整數，編號1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。
統計：1.編號從L到R的所有數之和為多少？ 其中1<= L <= R <= 10000.
方法一：我們可以用迴圈從L-1累加到R求和 ，這樣的方法耗時較慢；
方法二：我們可以求字首和，陣列S【n】裡存放的是前n項的和，這樣我們只需要S【R】-S【L-1】即可，大大提高了程式的效率；
2.
10000個正整數，編號從1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。
修改：1.將第L個數增加C （1 <= L <= 10000）
統計：1.編號從L到R的所有數之和為多少？ 其中1<= L <= R <= 10000.
對於方法二，現在我們需要A[L]+=C，之後S[L],S[L+1],,S[R]都需要增加C；很不方便；
現在我們可以用樹狀陣列來使得這些操作更為快捷；
原理//https://www.cnblogs.com/George1994/p/7710886.html
lowbit
它通過公式來得出k，其中k就是該值從末尾開始0的個數。然後將其得出的結果加上x自身就可以得出當前節點的父親節點的位置或者是x減去其結果就可以得出上一個父親節點的位置。比如當前是6，二進位制就是0110，k為2，那麼6+2=8，而C(8)則是C(6)的父親節點的位置；相反，6-2=4，則是C(6)的上一個父親節點的位置。
void add(int x,int val)//x是我們輸入數的序號，val是我們輸入對應序號的數值；
{
while(x<=n)//一共有n個數
{
c[x]+=val;
x+=x&-x;
}
}我們可以用這樣的一個函式來構建一個樹狀陣列；
看是一下看不出來的，我們需要用筆演算一遍，本人蒟蒻，用紙演算了好幾遍。。
當我們需要修改陣列中的某個值時，我們依舊呼叫這個函式，便可以修改掉所有要修改的值；
我們要求前n項和的時候，可以呼叫這樣的函式
int sum(int x)
{
int res=0;
while(x)//剛剛是向後遞進，現在我們往前遞進，剛剛是x累加，現在是x累減；我們用筆演算可以看出得出的結果便是前X項的和；大家可以試試看；
{
res+=c[x];
x-=x&-x;
}
return res;
}
以上的兩個函式便是構建和查詢操作；
我們現在做一道例題試試看；便於大家理解；
HDU1166 敵兵佈陣
Problem Description
C國的死對頭A國這段時間正在進行軍事演習，所以C國間諜頭子Derek和他手下Tidy又開始忙乎了。A國在海岸線沿直線佈置了N個工兵營地,Derek和Tidy的任務就是要監視這些工兵營地的活動情況。由於採取了某種先進的監測手段，所以每個工兵營地的人數C國都掌握的一清二楚,每個工兵營地的人數都有可能發生變動，可能增加或減少若干人手,但這些都逃不過C國的監視。 中央情報局要研究敵人究竟演習什麼戰術,所以Tidy要隨時向Derek彙報某一段連續的工兵營地一共有多少人,例如Derek問:“Tidy,馬上彙報第3個營地到第10個營地共有多少人!”Tidy就要馬上開始計算這一段的總人數並彙報。但敵兵營地的人數經常變動，而Derek每次詢問的段都不一樣，所以Tidy不得不每次都一個一個營地的去數，很快就精疲力盡了，Derek對Tidy的計算速度越來越不滿:"你個死肥仔，算得這麼慢，我炒你魷魚!”Tidy想：“你自己來算算看，這可真是一項累人的工作!我恨不得你炒我魷魚呢!”無奈之下，Tidy只好打電話向計算機專家Windbreaker求救,Windbreaker說：“死肥仔，叫你平時做多點acm題和看多點演算法書，現在嚐到苦果了吧!”Tidy說："我知錯了。。。"但Windbreaker已經掛掉電話了。Tidy很苦惱，這麼算他真的會崩潰的，聰明的讀者，你能寫個程式幫他完成這項工作嗎？不過如果你的程式效率不夠高的話，Tidy還是會受到Derek的責罵的.
Input
第一行一個整數T，表示有T組資料。 每組資料第一行一個正整數N（N<=50000）,表示敵人有N個工兵營地，接下來有N個正整數,第i個正整數ai代表第i個工兵營地裡開始時有ai個人（1<=ai<=50）。 接下來每行有一條命令，命令有4種形式： (1) Add i j,i和j為正整數,表示第i個營地增加j個人（j不超過30） (2)Sub i j ,i和j為正整數,表示第i個營地減少j個人（j不超過30）; (3)Query i j ,i和j為正整數,i<=j，表示詢問第i到第j個營地的總人數; (4)End 表示結束，這條命令在每組資料最後出現; 每組資料最多有40000條命令
Output
對第i組資料,首先輸出“Case i:”和回車, 對於每個Query詢問，輸出一個整數並回車,表示詢問的段中的總人數,這個數保持在int以內。
Sample Input
1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Query 1 3 Add 3 6 Query 2 7 Sub 10 2 Add 6 3 Query 3 10 End
Sample Output
Case 1: 6 33 59
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 100000+7
int c[N],n,T,x,j,i,k;
char s[10];
void add(int x,int val)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=val;
x+=x&-x;
}
}
int sum(int x)
{
int res=0;
while(x)
{
res+=c[x];
x-=x&-x;
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
for(k=1;k<=T;k++)
{
memset(c,0,sizeof(c));
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&j);
add(i,j);//構建樹狀陣列；
}
printf("Case %d:\n",k);
while(scanf("%s",s))
{
if(!strcmp(s,"End"))
{
break;
}
if(!strcmp(s,"Add"))
{
scanf("%d%d",&i,&j);
add(i,j);//增加操作
}
if(!strcmp(s,"Sub"))
{
scanf("%d%d",&i,&j);
add(i,-j);//減少操作
}
if(!strcmp(s,"Query"))
{
scanf("%d%d",&i,&j);
printf("%d\n",sum(j)-sum(i-1));//求區間和的操作；
}
}
}
}如果我們用字首和或是暴力是很難解決的；所以這類題用樹狀陣列很方便；