基本資料結構――堆的基本概念及其操作
轉載自:https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4859889.html,同時感謝大佬的分析
在我剛聽到堆這個名詞的時候,我認為它是一堆東西的集合
但其實吧它是利用完全二叉樹的結構來維護一組資料,然後進行相關操作,一般的操作進行一次的時間複雜度在
O(1)~O(logn)之間。
可謂是相當的引領時尚潮流啊(我不信學資訊學的你看到log和1的時間複雜度不會激動一下下)!。
什麼是完全二叉樹呢?別急著去百度啊,要百度我幫你百度:
若設二叉樹的深度為
在最左邊,這就是完全二叉樹。我們知道二叉樹可以用陣列模擬,堆自然也可以。
現在讓我們來畫一棵完全二叉樹:
從圖中可以看出,元素的父親節點陣列下標是本身的1/2(只取整數部分),所以我們很容易去模擬,也很
容易證明其所有操作都為log級別~~
堆還分為兩種型別:大根堆、小根堆
顧名思義,就是保證根節點是所有資料中最大
不過有一點需要注意:堆內的元素並不一定陣列下標順序來排序的!!很多的初學者會錯誤的認為大/小根堆中
下標為1就是第一大/小,2是第二大/小……
原因會在後面解釋,現在你只需要深深地記住這一點!
我們剛剛畫的完全二叉樹中並沒有任何元素,現在讓我們加入一組資料吧!
下標從1到9分別加入:{8,5,2,10,3,7,1,4,6}。
如下圖所示
(不要問我怎麼加,想想你是怎麼讀入陣列的。)
我們可以發現這組資料是雜亂無章
現在我就來介紹一下堆的幾個基本操作:
- 上浮 shift_up;
- 下沉 shift_down
- 插入 push
- 彈出 pop
- 取頂 top
- 堆排序 heap_sort
學習C/C++的同學有福利了,堆的程式碼一般十分之長,而我們偉大的STL模板庫給我們提供了兩種簡單方便堆操作的方式,
想學習的可以看看這個:http://www.cnblogs.com/helloworld-c/p/4854463.html 密碼: abcd111
我個人建議吧,起碼知道一下實現的過程,STL只能是錦上添花,絕不可以雪中送炭!!
萬一哪天要你模擬堆的某一操作過程,而你只知道STL卻不知道原理,看不出這個題目是堆,事後和其他OIer
討論出題解,那豈不是砍舌頭吃苦瓜,哭得笑哈哈。
那麼我們開始講解操作過程吧,我們以小根堆為例
剛剛那組未處理過的資料中我們很容易就能看出,根節點1元素8絕對不是最小的
我們很容易發現它的一個兒子節點3(元素2)比它來的小,我們怎麼將它放到最高點呢?很簡單,直接交換嘛~~
但是,我們又發現了,3的一個兒子節點7(元素1)似乎更適合在根節點。
這時候我們是無法直接和根節點交換的,那我們就需要一個操作來實現這個交換過程,那就是上浮 shift_up。
操作過程如下:
從當前結點開始,和它的父親節點比較,若是比父親節點來的小,就交換,
然後將當前詢問的節點下標更新為原父親節點下標;否則退出。
模擬操作圖示:
虛擬碼如下:
Shift_up( i )
{
while( i / 2 >= 1)
{
if( 堆陣列名[ i ] < 堆陣列名[ i/2 ] )
{
swap( 堆陣列名[ i ] , 堆陣列名[ i/2 ]) ;
i = i / 2;
}
else break;
}
這一次上浮完畢之後呢,我們又發現了一個問題,貌似節點3(元素8)不太合適放在那,而它的子節點7(元素2)
好像才應該在那個位置。
此時的你應該會說:“賜予我力量,讓節點7上浮吧,我是OIer!”
然而,上帝(我很不要臉的說是我)賜予你另外一種力量,讓節點3下沉!
那麼問題來了:節點3應該往哪下沉呢?
我們知道,小根堆是盡力要讓小的元素在較上方的節點,而下沉與上浮一樣要以交換來不斷操作,所以我們應該
讓節點7與其交換。
由此我們可以得出下沉的演算法了:
讓當前結點的左右兒子(如果有的話)作比較,哪個比較小就和它交換,
並更新詢問節點的下標為被交換的兒子節點下標,否則退出。
模擬操作圖示:
虛擬碼如下:
Shift_down( i , n ) //n表示當前有n個節點
{
while( i * 2 <= n)
{
T = i * 2 ;
if( T + 1 <= n && 堆陣列名[ T + 1 ] < 堆陣列名[ T ])
T++;
if( 堆陣列名[ i ] < 堆陣列名[ T ] )
{
swap( 堆陣列名[ i ] , 堆陣列名[ T ] );
i = T;
}
else break;
}
講完了上浮和下沉,接下來就是插入操作了~~~~
我們前面用的插入是直接插入,所以資料才會雜亂無章,那麼我們如何在插入的時候邊維護堆呢?
其實很簡單,每次插入的時候呢,我們都往最後一個插入,讓後使它上浮。(這個不需要圖示了吧…)
虛擬碼如下:
Push ( x )
{
n++;
堆陣列名[ n ] = x;
Shift_up( n );
}
說完了插入,我們總需要會彈出吧~~~~~
彈出,顧名思義就是把頂元素彈掉,但是,彈掉以後不是群龍無首嗎??
我們如何去維護這堆資料呢?
稍加思考,我們不難得出一個十分巧妙的演算法:
讓根節點元素和尾節點進行交換,然後讓現在的根元素下沉就可以了!(這個也不需要圖示吧…)
虛擬碼如下:
Pop ( x )
{
swap( 堆陣列名[1] , 堆陣列名[ n ] );
n--;
Shift_down( 1 );
}
接下來是取頂…..我想不需要說什麼了吧,根節點陣列下標必定是1,返回堆[ 1 ]就OK了~~
注意:每次取頂要判斷堆內是否有元素,否則..你懂的
圖示和虛擬碼省略,如果你這都不會那你可以重新開始學資訊學了,當然如果你是小白….這種稍微高階的資料結構還是以後再說吧。
說完這些,我們再來說說堆排序。之前說過堆是無法以陣列下標的順序來來排序的對吧?
所以我個人認為呢,並不存在堆排序這樣的操作,即便網上有很多堆排序的演算法,但是我這裡有個更加方便的演算法:
開一個新的陣列,每次取堆頂元素放進去,然後彈掉堆頂就OK了~
虛擬碼如下:
Heap_sort( a[] )
{
k=0;
while( size > 0 )
{
k++;
a[ k ] = top();
pop();
}
}
堆排序的時間複雜度是O(nlogn)理論上是十分穩定的,但是對於我們來說並沒有什麼卵用。
我們要排序的話,直接使用快排即可,時間更快,用堆排還需要O(2*n)的空間。這也是為什麼我說堆的操作
時間複雜度在O(1)~O(logn)。
講完到這裡,堆也基本介紹完了,那麼它有什麼用呢??
舉個粒子,比如當我們每次都要取某一些元素的最小值,而取出來操作後要再放回去,重複做這樣的事情。
我們若是用快排的話,最壞的情況需要O(q*n^2),而若是堆,僅需要O(q*logn),時間複雜度瞬間低了不少。
最後附上一份堆操作的程式碼(C++):
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 100010 //這部分可以自己定義堆記憶體多少個元素
using namespace std;
struct Heap
{
int size,queue[maxn];
Heap() //初始化
{
size=0;
for(int i=0;i<maxn;i++)
queue[i]=0;
}
void shift_up(int i) //上浮
{
while(i>1)
{
if(queue[i]<queue[i>>1])
{
int temp=queue[i];
queue[i]=queue[i>>1];
queue[i>>1]=temp;
}
i>>=1;
}
}
void shift_down(int i) //下沉
{
while((i<<1)<=size)
{
int next=i<<1;
if(next<size && queue[next+1]<queue[next])
next++;
if(queue[i]>queue[next])
{
int temp=queue[i];
queue[i]=queue[next];
queue[next]=temp;
i=next;
}
else return ;
}
}
void push(int x) //加入元素
{
queue[++size]=x;
shift_up(size);
}
void pop() //彈出操作
{
int temp=queue[1];
queue[1]=queue[size];
queue[size]=temp;
size--;
shift_down(1);
}
int top(){return queue[1];}
bool empty(){return size;}
void heap_sort() //另一種堆排方式,由於難以證明其正確性
{ //我就沒有在部落格裡介紹了,可以自己測試
int m=size;
for(int i=1;i<=size;i++)
{
int temp=queue[m];
queue[m]=queue[i];
queue[i]=temp;
m--;
shift_down(i);
}
}
};
int main()
{
Heap Q;
int n,a,i,j,k;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a;
Q.push(a); //放入堆內
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<Q.top()<<" "; //輸出堆頂元素
Q.pop(); //彈出堆頂元素
}
return 0;
}
HEAP CODE
注:在回顧資料結構堆時候發現這個連結講述的也很好,感興趣的可以看看,連結如下:http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3610187.html