在上一篇博文中我們一起學習瞭如何用spark構建一套歌手推薦系統，在模型訓練的時候，我們用到的是ALS演算法，這篇博文我們就一起來學習一下ALS演算法的原理吧。ALS演算法全稱是Alternating Least Squares，從協同過濾的分類來說，這裡的ALS演算法是同時基於使用者和物品的協同，所以說ALS演算法也是混合的協同過濾。其實使用者和物品的關係可以由使用者、物品和評分三項聯絡在一起，可以用<user，item，rating>來表示，rating表示使用者對商品的喜愛程度，也就是使用者對商品的評分，在我的歌手推薦系統中，我們將使用者聽某首歌的頻次作為這首歌的評分。當我們的歌手和使用者的數量足夠大的時候，我們就會得到一個非常大的矩陣，但是這個矩陣只有小部分的位置有資料，因此這個評分矩陣是一個稀疏矩陣，因為這個矩陣巨大，用傳統的分解方法已經很難將這個矩陣進行分解了。所以我們假設使用者和歌手之間存在著若干有聯絡的隱形特徵，也就是維度，比如說使用者的年紀，性別，歌手的年紀，使用者的學歷等等，這些都是一些隱形的特徵，所以我們需要將原始的R矩陣投射在這些隱形的矩陣上面，用數學表示式可以表達成：
$R_{}$

m × n ≈ X m ×

k ⋅ Y n × k T

{R_{m \times n}} \approx {X_{m \times k}} \cdot Y_{n \times k}^T
這裡的約等於符號表示這是一個近似的空間變換，也就是說原始的矩陣可以表示成m x k 和 k x n的矩陣相乘，這裡的k就表示我們的隱藏因子數，也稱作latent factor，通過矩陣的拆分，我們可以做到資料降維的目的，矩陣拆分可以由下圖表示：

我們的目的是讓矩陣X和Y相乘儘可能地相似R矩陣，所以我們目的就是最小化我們矩陣的平方損失函式：
${\min _{x*,y*}}\sum\limits_{u,i} {{{({r_{ui}} - x_u^T{y_i})}^2}}$
整體來說，就是讓我們整體的真實值與我們相乘的預測值儘可能小。我們考慮到矩陣穩定性的問題，我們可以將上述公式正則化：
$\mathop {\min }\limits_{x*,y*} L(X,Y) = \mathop {\min }\limits_{x*,y*} \sum\limits_{u,i} {{{({r_{ui}} - x_u^T{y_i})}^2} + \lambda ({{\left| {{x_u}} \right|}^2} + {{\left| {{y_i}} \right|}^2})}$
優化這個公式，最小化我們的損失函式，可以得到我們的X和Y矩陣，將這兩個矩陣相乘，可以得到我們預測的矩陣，這個矩陣不僅可以預測我們使用者對歌手的打分，還可以比較不同使用者或者歌手之間的相似度。ALS演算法是一個離線演算法，所以我們新添加了使用者或者歌手，不能實時進行推薦，這是一個冷啟動的問題，但是ALS演算法在推薦系統中還是佔有很重要的一席之地。
還有就是我們如何優化上述的公式，如何去最小化我們的損失函式。這裡大家想到的就是將上述公式進行求導，但是這個公式直接求導是比較麻煩的，因為有X和Y兩個變數，所以我們可以先優化一個維度，固定其他的維度，所以我們可以對xu求偏導，然後我們可以得到如下的結果：
$\frac{{\partial L}}{{\partial {x_u}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_u}}}\sum\limits_{u,i} {{{({r_{ui}} - x_u^T{y_i})}^2} + \lambda ({{\left| {{x_u}} \right|}^2} + {{\left| {{y_i}} \right|}^2})} = 2\sum\limits_i {({r_{ui}} - x_u^T{y_i})\frac{\partial }{{\partial {x_u}}}( - x_u^T{y_i})} + 2\lambda {x_u} = - 2\sum\limits_i {({r_{ui}} - {x_u}y_i^T){y_i}} + 2\lambda {x_u} = - 2{Y^T}{r_u} + 2{Y^T}Y{x_u} + 2\lambda {x_u}$
求導完成之後，我們可以令這個導數為0，然後可以得到下面的公式：
${Y^T}Y{x_u} + \lambda I{x_u} = {Y^T}{r_u} \Rightarrow {x_u} = {({Y^T}Y + \lambda I)^{ - 1}}{Y^T}{r_u}$