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定義

介紹一些寫法和陣列的含義，首先要知道 字典序 。

• \(len\)：字串長度

• \(s\)：字串陣列，我們的字串儲存在 \(s[0]...s[len-1]\) 中。

• \(suffix(i) ,i\in[0,len-1]\)： 表示子串 \(s[i]...s[len-1]\)，即從 \(i\) 開始的字尾 。

加入我們提取出了 \(suffix(1)...suffix(len-1)\) ，將他們按照字典序從小到達排序。

• \(sa[i]\) ：排名為 \(i\) 的字尾的第一個字元在原串裡的位置 。
• \(rank[i]\) ：\(suffix(i)\)
  的排名。

顯然這兩個陣列可以在 \(O(N)\) 的時間內互相推出。

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Doubling Algorithm

由於博主太蒟並不會DC3，想看DC3的同志們可以溜了

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倍增構造法。

從小到大列舉 \(k\) ，每次按照字典序排序，每一個字尾的長度為 \(2^k\) 的字首，直到沒有相同排名的為止。

若有的字尾不夠長就在後面補上：比當前串全字符集最小字元還要小的字元，結果顯然符合字典序的定義。

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如何確定長度為 \(2^k\) 的每一個字尾對應字首的排名？

倍增。有點像數學歸納法的感覺。

首先我們顯然可以直接求出來 \(k=0\)

然後對於一個 \(k\) ，我們顯然已經完成了 \(k-1\) 部分的工作。

所以對於一個長度為 \(2^k\) 的字首，它顯然可以由兩個長度為 \(2^{k-1}\) 的字首拼成。

也就是說，我們可以把長度為 \(2^k\) 的字首，寫成兩個長度為 \(2^{k-1}\) 的字首的有序二元組。

有一個顯然的結論，因為長度 \(2^{k-1}\) 的所有字首有序，所以我們對這些二元組排序法則可以寫成：

以前一個長度為 \(2^{k-1}\) 的字首的 \(rank\) 為第一關鍵字，以後一個長度為 \(2^{k-1}\) 的字首的 \(rank\) 為第二關鍵字排序。

對於此方法得到的順序，與將整個長度為 \(2^k\)

附上 \(2009\) 年國家集訓隊論文中的排序圖片，可以加深體會一下整個排序的思想。

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