線性時不變系統

本文引自《數字訊號處理 【美】 Richad G. Lyons》

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眾所周知，LTI系統官方定義。
線性系統的例子：
假設
y(n)= - x(n) / 2
輸出序列是輸入序列取反後的1/2

輸入x1 : 1Hz -------------------輸出： 峰值為振幅-0.5，頻率1Hz的單頻訊號
輸入x2 : 3Hz -------------------輸出：峰值為振幅-0.5，頻率3Hz的單頻訊號
輸出之和： 1HZ處 和3HZ處

如果輸入以上兩個單頻訊號之和 x1+x2 ，輸出同樣是在1HZ處和3Hz處

說明以上系統為線性系統
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重點：

非線性系統的例子
例子：
y(n)=[x(n)]^2
當輸入由簡單的正弦波組成時，使用註明的三角恆等式及一點代數知識來計算非線性系統的輸出
輸入： x1(n)=sin(2 pi f0 n Ts)

可以看出，兩個正弦曲線相乘，會產生和頻（α+β），及差頻率（α-β），所以常數1/2稱為0Hz的頻率分量，以及2HZ

3HZ的正弦序列通過這個非線性系統時候，通過代數運算，會輸出一個0HZ和6HZ的頻率分量

將1HZ和3HZ的正弦波之和，輸入到該系統：
(a+b)²
=a²+2ab+b²
其中同樣利用知名的三角公式，2ab會差生額外的2HZ和4HZ的正弦波
所以，當兩個正弦波之和輸入到非線性系統時，輸出將包含兩個正弦波單獨輸入時所沒有的正弦分量。

這些額外的正弦分量是由於兩個輸入的正弦波在進行平方運算時候，相互作用產生的，這就是非線性

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重點：
時不變系統‘

在一個時不變系統中，輸入序列的延遲（或移位），將會在系統的輸出序列中產生一個相同的延遲。
有些研究人員主張把一個時不變系統定義為其引數不隨時間而改變的系統，這個定義是不完整的。並且如果不注意，這將可能給我們帶來麻煩。
我們只需要記住下面這個正式的定義：
在一個時不變系統中，輸入序列的延遲將會在系統的輸出序列中產生一個相同的延遲。

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LTI系統的可交換性
將兩個不同的LTI系統相串聯，交換這兩個串聯絡統的順序並不會改變最終的輸出。儘管中間值序列f(n),與g(n)通常情況下並不相同，但是兩組LTI系統將擁有完全一樣的輸出序列y（n）

重點：
分析LTI系統
如果要直到一個LTI系統的單位脈衝響應，就可以計算這個系統裡面所有我們想要知道的東西，也就是說，系統的單位脈衝響應完全表徵了一個系統。所謂“單位脈衝響應”，指的是當輸入單位脈衝時，系統所對應的時域輸出序列。

由於輸出等於輸入序列與系統脈衝響應的卷積，因此已知一個LTI系統的（單位）脈衝響應之後，就可以確定任意輸出序列所對應的輸出。此外，已知一個LTI系統的時域脈衝響應，通過對該脈衝響應進行離散傅立葉變換，就可以求出這個系統的頻率響應。

請深刻理解上面兩句話，其中蘊含了數字訊號處理中最重要的原則！

4點移位均值器。
一個移位均值器，就相當於一個數字低通濾波器（說白了，就是把頻率放慢，變化速度放慢了）