代數：集合+運算

組成元素

1. 集合
2. 二元運算：“+”“·”封閉性
3. 單位元identity element：單位元與其他元素結合，不改變元素
4. 逆元素inverse element
5. 結合律 associative property (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
6. 交換律 commutative property a ∗ b = b ∗ a.

群：代數結構(R, *)

原群

只滿足封閉性

半群（Semigroup）

滿足結合律(ab)c=a(bc)的原群

么半群（monoid）

滿足結合律和存在單位元

群（group）

• 封閉性
• 結合律
• 單位元
• 逆元

阿貝爾群（Abelian）

在群的基礎上滿足交換律：a * b = b * a

環：代數結構(R, +, ·)

在阿貝爾群的基礎上，新增一種二元運算·。

環公理：

1. (R,+)是阿貝爾群
2. (R,·)是么半群
3. 乘法對加法滿足分配律：
   a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
   (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a)

域：代數結構(R,+,·,/(除零外，有逆元))

域(Field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。
有理數、實數、複數可以形成域.

域公理

1. 滿足環：
   1） (R,+)是阿貝爾群：加法封閉、結合律、么元、逆元、交換律
   2）(R,·)是么半群：乘法封閉、結合律、么元
   3）乘法對加法滿足分配律
2. 乘法除0外有逆元
3. 乘法滿足交換律

Reference：群環域