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解題思路

　　高維字首和模板題。首先，求字首和有兩種方式，比如說對於求二維字首和來說。

第一種 ：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];

　　這一種其實就相當於用了容斥原理。

第二種 ：

for(int i=1;i<=n;i++) sum[i][j]+=sum[i-1][j];
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i][j]+=sum[i][j-1];

　　這一種其實相當於先求出列的字首和，再求行的字首和。

二維的時候這兩種似乎看起來差不多，如果擴充套件到三維?

第一種 ：

for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++)
       for(int k=1;k<=n;k++){
            sum[i][j][k]=sum[i-1][j][k]+sum[i][j-1][k]+sum[i][j][k-1];
             sum[i][j][k]-=sum[i-1][j-1][k]+sum[i-1][j][k-1]+sum[i][j-1][k-1];
            sum[i][j][k]+=sum[i-1][j-1][k-1];
      }
 

　　這樣就有點麻煩了，再來看看第二種。

第二種 ：

for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++) sum[i][j][k]+=sum[i][j][k-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++) sum[i][j][k]+=sum[i][j-1][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++) sum[i][j][k]+=sum[i-1][j][k];
 

　　這樣就比較舒服了。

隨著維度的不斷增加，第一種方法需要容斥，這個複雜度就達到了 \(2^t\)，\(t\)表示維度。那麼總的時間複雜度就是\(O(2^t*n^t)\)，第二種的複雜度則是\(O(t*n^t)\)，優秀很多。利用這個玩意，就可以算出高維字首和，高維字首和一般都是\(n=2\)的情況，一般來說就是求一個集合的超集或子集這類的東西。

對於這道題來說其實就是一個求子集的和。

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;
const int MAXN = (1<<20)+5;

inline int rd(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

int n,a[MAXN];

int main(){
    n=rd();for(int i=0;i<n;i++) a[i]=rd();int len=log2(n);
    for(int i=1;i<=len;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if((j&(1<<(i-1)))) a[j]+=a[j^(1<<(i-1))];
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",a[i]);
    return 0;
}