Q：斐波那契數列為什麼那麼重要，所有關於數學的書幾乎都會提到？
A：因為斐波那契數列在數學和生活以及自然界中都非常有用。

1.　斐波那契數列 概念引入

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。

數學上，斐波那契數列以遞迴的形式進行定義：
$F_0$

= 0 F 1 = 1 F n

= F n − 1 + F

n − 2 F_{0} = 0\\ F_{1} = 1\\ F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}

場景

先來開看看“兔子數列”以及其他數學應用場景！！

1. 1　兔子數列

一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？

1.2　排列組合

有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?

更多數學方面知識，請戳：
斐波那契數列

斐波那契數列為什麼那麼重要，所有關於數學的書幾乎都會提到？

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2.　數列數學方法解答

2.1　兔子繁殖問題

斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。

一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？

我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：

第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對

兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對

三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對

－－－－－－

依次類推可以列出下表：

經過月數	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	…
幼仔對數	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…
成兔對數	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
總體對數	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

幼仔對數=前月成兔對數

成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數

總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數

可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：

前面相鄰兩項之和，構成了後一項。

2.2　排列組合

2.2.1　跨樓梯組合

有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?

這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。

2.2.2　擲硬幣不連續情形

一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？

答案是:
$（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144$
…

3.　Python程式碼實現斐波那契數列

時間複雜度

空間複雜度

通過時間複雜度和空間複雜度評判程式碼的執行效率。

• 例如：從規模上來說，如果需要計算F(4)的值，需要進行9次元素操作

  設T(n)為計算n的時間複雜度，那麼
  $T(n) = T(n-1) + T(n-2)+O(1)$
  一般情況，可以得出： $T(n)< 2* T(n-1) + O(1)$

  粗略估算， $T（n） < O（2^n）$，上述程式碼求解F(n)的計算，它的時間複雜度是$O(2^n)

3.1　python特有寫法

列印正整數n之內的斐波那契數列

# Python特有， 常規寫法
def fib(self, n):
	a = 0
	b = 1
	while a <= n:
		print(a, end=" ", flush=True)
		a, b = b, a + b  # python不借助變數交換兩數的值

fib(100)  # 求n之內的斐波那契數列

$時間複雜度：O(n)， 空間複雜度：O(1)$

3.2　遞迴

列印斐波那契數列前10位數字

# 遞迴
def fibonacci(i):
    num_list = [0, 1]
    if i < 2:
        return num_list[i]
    elif i >= 2:
        return (fibonacci(i - 2) + fibonacci(i - 1))


print(fibonacci(10))

$時間複雜度：O(n)， 空間複雜度：O(n)$

3.3　類物件

# 迭代的方式
class FibIterator(object):
    """斐波那契數列迭代器"""
    def __init__(self, n):
        """
        :param n: int, 指明生成數列的前n個數
        """
        self.n = n
        # current用來儲存當前生成到數列中的第幾個數了
        self.current = 0
        # num1用來儲存前前一個數，初始值為數列中的第一個數0
        self.num1 = 0
        # num2用來儲存前一個數，初始值為數列中的第二個數1
        self.num2 = 1

    def __next__(self):
        """被next()函式呼叫來獲取下一個數"""
        if self.current < self.n:
            num = self.num1
            self.num1, self.num2 = self.num2, self.num1+self.num2
            self.current += 1
            return num
        else:
            raise StopIteration

    def __iter__(self):
        """迭代器的__iter__返回自身即可"""
        return self


if __name__ == '__main__':
    fib = FibIterator(10)
    for num in fib:
        print(num, end=" ")

3.4 矩陣解決問題

從定義開始：
$F_{0} = 0\\ F_{1} = 1\\ F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$
轉化為矩陣形式
$\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_{n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} F_{n}\\ F_{n-1} \end{pmatrix}$
可以得出： $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_{1}\\ F_{0} \end{pmatrix}$
我們設定