題目

有N種物品和一個容量為V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

基本思路:

對每個物品都考慮拿幾個(這個很好理解)

遞推式:f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

時間複雜度是O(V*Σn[i])

轉換為為01揹包問題:

這裡利用了二進位制的性質優化

時間複雜度:O(V*Σlog n[i])

例子1:(注意看數字的顏色)

7個物品i的多重揹包問題=01揹包問題(物品1

2^0+2^1+2^2=7　　7-7=0,不用補了

例子2:

8個物品i的多重揹包問題=01揹包問題(物品1=1個物品i,物品2=2個物品i,物品3=4個物品i,物品4=1個物品i)//藍色地方是補到8

1+2+4=7 < 8　　　　8-7=1,再補個1

注意每次選的時候還是要判斷是否空間超出了

例子3:

5個物品i的多重揹包問題=01揹包問題(物品1=1個物品i,物品2=2個物品i,物品3=2個物品i)//藍色地方是補到5

1+2=3<5　　5-3=2,再補個2

比方說例子3我們看到了,物品1,物品2,物品3可以組合成0~5的任何數

這樣一來,就從多重揹包轉換成了01揹包

 繼續優化:

圖片截圖自 揹包九講

最後那個O(Vn)的方法我還沒學,先放著,以後其他學完了再學他