2. 複雜度分析

2.1 什麼是複雜度分析

資料結構和演算法的本質：快和省，如何讓程式碼執行得更快、更省儲存空間。

演算法複雜度分為時間複雜度和空間複雜度，從執行時間和佔用空間兩個維度來評估資料結構和演算法的效能。

複雜度描述的是演算法執行時間（或佔用空間）與資料規模的增長關係，越高階複雜度的演算法，執行效率越低。

2.2 為什麼需要複雜度分析

如果採用效能測試，測試結果非常依賴測試環境和受資料規模的影響很大。而複雜度分析有不依賴執行環境、成本低、效率高、易操作、指導性強的特點。

2.3 如何進行復雜度分析

2.3.1 大O表示法

不是程式碼真正執行的時間，而是表示程式碼執行時間隨資料規模增長的變化趨勢，叫作漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

$T\left(n\right)=O\left(f\right($

$T\left(n\right)$

2.3.2 時間複雜度

• 只關注迴圈執行次數最多的一段程式碼
• 加法規則：總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度
• 乘法規則：巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度的乘積
• 程式碼複雜度由兩個資料規模決定的，不能簡單利用加法規則，複雜度為 $O(m+n)$

幾種常見時間複雜度：

• 多項式量級：

  • 常量階 $O(1)$：程式碼執行時間不隨n的增大而增長
  • 對數階 $O(log n)$
  • 線性階 $O(n)$
  • 線性對數階 $O(nlogn)$
  • 平方階 $O(n^2)$、立方階 $O(n^3)$、 $\cdots$k次方階 $O(n^k)$

• 非多項式量級：當資料規模越來越大時，演算法執行時間會急劇增加，非常低效

  • 指數階 $O(2^n)$
  • 階乘階 $O(n!)$

2.3.3 空間複雜度

漸進空間複雜度，表示演算法的儲存空間與資料規則之間的增長關係。

常見的空間複雜度：

• $O(1)$
• $O(n)$
• $O(n^2)$

2.4 時間複雜度情況

• 最好情況時間複雜度（best case time complexity）

• 最壞情況時間複雜度（worse case time complexity）

• 平均情況時間複雜度（average case time complexity）

• 均攤時間複雜度（amortized time complexity）

2.4.1 最好情況時間複雜度

在最理想的情況下，執行這段程式碼的時間複雜度。

以下面這段程式碼為例，

// n 表示陣列 array 的長度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

如果要查詢的變數x正好是陣列的第一個元素，對應的時間複雜度即為最好情況時間複雜度。

2.4.2 最壞情況時間複雜度

在最糟糕的情況下，執行這段程式碼的時間複雜度。

以剛剛舉的例子，如果陣列中沒有要查詢的變數x，需要把整個陣列都遍歷一遍時，此時對應的時間複雜度即為最壞情況時間複雜度。

2.4.3 平均情況時間複雜度

也叫加權平均時間複雜度或期望時間複雜度，用程式碼在所有情況下執行的次數的加權平均值表示。

假設在陣列中與不在陣列中的概率都為 $\frac{1}{2}$，且要查詢的資料出現在 0～n-1 這 n 個位置的概率也是一樣的，都為 $\frac{1}{n}$。因此，根據概率乘法法則，要查詢的資料出現在 0～n-1 中任意位置的概率是 $\frac{1}{2n}$。那麼平均情況複雜度的計算過程為：

$1\times\frac{1}{2n} +2\times \frac{1}{2n} + 3\times \frac{1}{2n} + \cdots +n\times \frac{1}{2n} + n\times \frac{1}{2}=\frac{3n+1}{4}​$

2.4.4 均攤時間複雜度

對一個數據結構進行一組連續操作中，大部分情況下時間複雜度都很低，只有個別情況下時間複雜度比較高，而且這些操作出現的頻率是非常有規律的，之間存在前後連貫的時序關係。此時，就可以將這一組操作一起分析，將較高時間複雜度的那次操作的耗時，平攤到其他那些時間複雜度比較低的操作上。能夠應用均攤時間複雜度分析的場合，一般均攤時間複雜度等於最好情況時間複雜度。

均攤時間複雜度應用的場景特殊、有限，可以看成一種特殊的平均時間複雜度。

2.4.5 總結

只有同一塊程式碼在不同的情況下，時間複雜度有量級的差距，我們才會使用這幾種複雜度表示法來區別。一般情況下，使用一個複雜度就可以滿足需求。