第十八講傅立葉變換

阿新 • • 發佈：2018-11-28

一，傅立葉級數的複數形式：

一般形式：

$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nk_{0}t)+b_{n}sin(nk_{0}t)]$ ，週期 $T=2L$ ， $k_{0}=\frac{2\pi }{T}$
$a_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L }f(t)cos(nk_{0}t)dt$ ，n為任意整數
$b_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L }f(t)sin(nk_{0}t)dt$ ，n為任意整數

利用逆向尤拉公式（第十講第二節）展開：
$a_{n}cos(nk_{0}t)+b_{n}sin(nk_{0}t)=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{ink_{0}t}+\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-ink_{0}t}$
原式： $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{ink_{0}t}+\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-ink_{0}t}]=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{ink_{0}t}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-ink_{0}t}$
第一項： $\frac{a_{0}}{2}=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{ink_{0}t}$
第三項：當 $n< 0$ 時， $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-ink_{0}t}=\sum_{n=-\infty }^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{ink_{0}t}$
代入原式： $f(t)=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{ink_{0}t}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{ink_{0}t}+\sum_{n=-\infty }^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{ink_{0}t}=\sum_{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{ink_{0}t}$
當 $n=0$ 時： $c_{n}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{L}\int_{0}^{2L }f(t)cos(0)dt=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)dt=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)e^{-ink_{0}t}dt$
當 $n> 0$ 時： $c_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)cos(nk_{0}t)dt-i\cdot\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)sin(nk_{0}t)dt=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)[cos(nk_{0}t)-isin(nk_{0}t)]dt=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)e^{-ink_{0}t}dt$
當 $n< 0$ 時： $c_{n}=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L }f(t)e^{-ink_{0}t}dt$
總結： $f(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{ink_{0}t}$ ， $c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-ink_{0}t}dt$

二，傅立葉變換：

用 $f_{T}(t)$ 表示週期為T的 $f(t)$ ， $f_{T}(t)=f(t+T)$
對於任意 $f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{ink_{0}t}$ ，其中 $\sum_{n=-\infty }^{\infty }$ 和 $e^{ink_{0}t}$ 都是不變的
唯一改變的是 $c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f_{T}(t)e^{-ink_{0}t}dt=\frac{1}{T}\int_{-L}^{L}f_{T}(t)e^{-ink_{0}t}dt$
頻譜如圖（圖中的 $\omega_{0}$ 和 $k_{0}$ 意思相同）：
兩個不同角速度 $\omega$ 之間的間距 $\Delta \omega =(n+1)k_{0}-nk_{0}=k_{0}$ ，如圖（圖中的 $\omega_{0}$ 和 $k_{0}$ 意思相同）：
當週期 $T\rightarrow \infty$ 時，周期函式 $f_{T}(t)$ 拓展到非周期函式 $f(t)$ ， $\lim_{T\rightarrow \infty }f_{T}(t)=f(t)$
此時間距 $\Delta \omega =k_{0}=\frac{2\pi }{T}\rightarrow 0$ ，原本離散的角速度 $\omega$ 變連續了，原本的n從只能取整數變成可以取整個實數
$\omega =nk_{0}$ 這個角速度公式才能在整個實數軸上成立，如圖（圖中的 $\omega_{0}$ 和 $k_{0}$ 意思相同）：
將傅立葉係數 $c_{n}$ 代入周期函式 $f_{T}(t)$ ：
$f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{T}\int_{-L}^{L}f_{T}(t)e^{-ink_{0}t}dt\cdot e^{ink_{0}t}$
將 $\frac{1}{T}=\frac{k_{0}}{2\pi }=\frac{\Delta \omega }{2\pi }$ 也代入：
$f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi }\int_{-L}^{L}f_{T}(t)e^{-ink_{0}t}dt\cdot e^{ink_{0}t}$
當 $T\rightarrow \infty$ 時： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }\Delta \omega =\int_{-\infty }^{\infty }d\omega$ ， $L\rightarrow \infty$ ， $\omega =nk_{0}$
$f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt\cdot e^{i\omega t}d\omega$ ，這個式子被稱作逆變換
而其中 $\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt=F(\omega )$ ，被稱作傅立葉變換

三，傅立葉變換的應用（濾波）：

首先將 $f(t)$ 進行傅立葉變換，檢視有哪些角速度（角頻率）的波需要去掉，再用濾波器濾掉（濾掉高頻波最簡單的手段就是對傅立葉級數進行積分）如圖（黑線是原函式，藍線是一重積分，綠線是二重積分）：

第十八講傅立葉變換

一，傅立葉級數的複數形式：一般形式：，週期，，n為任意整數，n為任意整數利用逆向尤拉公式（第十講第二節）展開：原式：第一項：第三項：當時，代入原式：當時：當時：當時：

第十六講傅立葉級數拓展

一，推論：一個函式不能有兩個不同的傅立葉級數，因為傅立葉係數公式表明對應唯一的和。二，奇偶性（縮減計算）：如果是偶函式，即，y軸對稱，那麼，，證明：如果是偶函式，那麼是偶

十從頭到尾徹底理解傅立葉變換演算法上

經典演算法研究系列：十、從頭到尾徹底理解傅立葉變換演算法、上作者：July、dznlong 二零一一年二月二十日推薦閱讀：The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing，By Steven

Python下opencv使用筆記（十）（影象頻域濾波與傅立葉變換）

前面曾經介紹過空間域濾波，空間域濾波就是用各種模板直接與影象進行卷積運算，實現對影象的處理，這種方法直接對影象空間操作，操作簡單，所以也是空間域濾波。頻域濾波說到底最終可能是和空間域濾波實現相同的功能，比如實現影象的輪廓提取，在空間域濾波中我們使用一個拉普拉

影象處理-離散傅立葉變換-數字影象處理第三版第四章內容

影象傅立葉變換方法有很多，可以通過空間光調製器輸入影象後在通過平行光照明經過傅立葉變換透鏡進行傅立葉變換，另一個方法就是利用計算機進行傅立葉變換，其中傅立葉變換有兩種演算法一種是DFT還有一種是FFT(快速傅立葉變換)。首先我介紹一下影象的定義，影象是怎麼去得到的

opencv學習（十五）之影象傅立葉變換dft

在學習訊號與系統或通訊原理等課程裡面可能對傅立葉變換有了一定的瞭解。我們知道傅立葉變換是把一個訊號從時域變換到其對應的頻域進行分析。如果有小夥伴還對傅立葉變換處於很迷糊的狀態，請戳這裡，非常通俗易懂。而在影象處理中也有傅立葉分析的概念，我這裡給出在其官方指導檔案

python OpenCV學習筆記（二十五）：傅立葉變換（Fourier Transform ）

傅立葉變換用於分析各種濾波器的頻率特性。對於影象，二維離散傅立葉變換(2D Discrete Fourier Transform/DFT)用於尋找頻域。快速傅立葉變換(Fast Fourier Transform/FFT)的快速演算法用於計算DFT。

第三章：3.6 典型訊號傅立葉變換

如圖所示的衝激函式，他的頻譜是常量1，具有不衰減的特性。能量是無窮大的。我們稱這種頻譜為白色頻譜公式法求FT（矩形訊號為例）對於能量有限的矩形脈衝訊號的，他的第一個特點就是頻譜隨著w的增加，而進行衰減。關於對稱性，我們有傅立葉變換

圖像中的傅立葉變換（一）

cos matrix 含義變換思考計算機視覺處理例子導出關於傅立葉變換，知乎上已經有一篇很好的教程，因此，這篇文章不打算細講傅立葉的物理含義，只是想從圖像的角度談一談傅立葉變換的本質和作用。本文假設讀者已經熟知歐拉公式： \[ e^{j\pi x}=\cos

圖像中的傅立葉變換（三）

輸入 rac 公式矩陣中心 line 傅立葉變換 sqrt 分享圖片在之前的文章中，我們介紹了傅立葉變換的本質和很多基本性質，現在，該聊聊代碼實現的問題了。為了方便起見，本文采用的編程語言是 Python3，矩陣處理用 numpy，圖像處理則使用 OpenCV3。

快速傅立葉變換FFT模板

return namespace double names http ++ main swap pre 遞歸版 UOJ34多項式乘法 //容易暴棧，但是很好理解 #include <cmath> #include <iostream> #includ

快速傅立葉變換（FFT）及其應用

有一個 swap max read mes turn scan 原本 color 在信息學競賽中FFT只有一個用處那就是加速多項式的乘法多項式乘法原本的時間復雜度是O（n^2）的，然後經過FFT之後可以優化為O（nlogn） FFT就是將系數表示法轉化成點值表示法相乘，再

頻域處理：傅立葉變換及小波變換

頻域處理：傅立葉變換及小波變換引言 1、傅立葉變換 2、小波變換 3、程式引言影象處理–>頻域處理–>傅立葉變換、小波變換。用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恆不變的。

學習傅立葉變換

1. 背景　　法國數學家吉恩·巴普提斯特·約瑟夫·傅立葉被世人銘記的最大的貢獻是：他指出任何周期函式都可以表示為不同頻率的正弦和/或餘弦之和的形式，每個正弦項和/或餘弦項乘以不同的係數（現在稱該和為傅立葉級數）。無論函式多麼複雜，只要它是週期的，並且滿足某些適度的數學條件，都可以用這樣的和來表示。即一個複

二維傅立葉變換學習

參考網址：https://blog.csdn.net/thecentry/article/details/80709593 https://blog.csdn.

傅立葉變換好文

1.傅立葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358 我的傅立葉變換入門文。有趣又通俗易懂！然後這個連結有一些圖無法顯示了，可以看轉載他的這個連結中的圖：https://www.cnblogs.com/h2

快速傅立葉變換FFT的學習筆記一：C語言程式碼的簡單實現

快速傅立葉變換FFT的學習筆記一：C語言程式碼的簡單實現 fft.c #include "math.h" #include "fft.h" void conjugate_complex(int n,complex in[],complex out[]) { int i = 0

離散時間傅立葉變換

1. 離散時間傅立葉變換的匯出針對離散時間非週期序列，為了建立它的傅立葉變換表示，我們將採用與連續情況下完全類似的步驟進行。考慮某一序列 $x[n]$，它具有有限持續期；也就是說，對於某個整數 $N_1$ 和 $N_2$，在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2

離散傅立葉變換（DFT）和快速傅立葉變換（FFT）原理與實現

目錄 1、影象變換 2、離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform） 3、DFT性質 4、DFT與數字影象處理 5、FFT-快速傅立葉變換 6、DFT與FFT的演算法實現 1. 影象變換 — —數學領域中有很多種變換，如傅立葉變換、拉普拉斯變

使用Apache commons-maths3-3.6.1.jar包實現快速傅立葉變換（java）

快速傅立葉變換 (fast Fourier transform), 即利用計算機計算離散傅立葉變換（DFT)的高效、快速計算方法的統稱，簡稱FFT。 1 package com; 2 3 import org.apache.commons.math3

第十八講 傅立葉變換

相關推薦

第十八講傅立葉變換