1. 引言

    隨著深度學習的發展，神經網路的模型的深度越來越大，雖然可以提取到資料中更加深層的特徵資訊，但是，也容易引起梯度消失或梯度爆炸等問題。當使用SGD優化函式時，我們經常會遇到以下兩個問題:

• 模型對引數初始化方式、學習率的設定特別敏感。
• 隨著網路深度的加深，引數的微小變動都會不斷被放大。

    為了解決這兩個問題，Sergey Ioffe等人在《Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift》 一文提出了Batch Normalization，本文將基於該文章，對Batch Normalization的原理進行解析，並對其優點進行總結和歸納。

2. Batch Normalization

2.1 mini-batch Normalization

    在介紹Batch Normalization的思想之前，先明確一個概念，即作者在文中提出的Internal Covariate Shift，其意思是：在訓練過程中，深層網路內部節點分佈的變化稱為Internal Covariate Shift。

    假設某一層的輸入為，其中d表示輸入的維度，則對每一維進行標準化，有：

其中，和都是在整個訓練集上計算得到的期望和方差。但是這種簡單的標準化會存在一個問題，即可能會使得啟用函式的非線效能力失效，導致整個網路的表現能力降低，因此，為例克服這個問題，作者對每一個維度的標準化引入了一對引數，對標準化後的值進行變換和移動，即：

特別地，當，時，則模型的表現能力與不採用Batch Normalization相同。

     由於在全部訓練集上進行Batch Normalization是不實際的，因此，作者提出了在mini-batch上進行Batch Normalization。記為一個batch大小為m的資料集，為了便於表示，將k進行省略，即第k個維度一個batch資料的表示為：

記Batch Normalization轉換為：

其中，表示對每一維進行Batch Normalization後的結果，則Batch Normalization的演算法步驟如下：

其中，為一個常數，主要為了確保計算的穩定。 

2.2 推理階段

   由於在訓練時，Batch Normalization是基於每一個mini-batch計算的，所以在預測或推理階段，怎麼對單個數據進行標準化呢？因為這時沒法計算資料的均值和方差。針對這個問題，作者提出了演算法2，即將訓練時每個batch資料對應的均值和方差記錄下來，利用他們來推算整個訓練集的均值和方差，公式如下：

其中，、分別對應每個mini-batch的均值和方差。這樣就可以對預測資料進行Batch Normalization，具體的演算法過程如下：

2.3 對於卷積神經網路的Batch Normalization

    對於卷積神經網路，為了保持卷積的特性，標準化是對每個feature-map進行，即每個feature-map不同位置的標準化採取同樣的操作，令是大小為m的mini-batch對應的某個feature-map的所有資料的集合，假設feature-map的大小為，則對該feature-map的Batch Normalization則相當於對大小為的特徵的標準化。

2.4 為什麼Batch Normalization可以使用更高的學習率

    當使用Batch Normalization後，假設引數變化為，則容易得到： 

即引數的更新對每一層的輸出不影響，另外，在反向傳播時，有：

即當設定不同大小的學習率時，在反向傳播時，都會被抵消掉，使得引數的更新相對穩定，因此，可以使用較大的學習率。

3.Batch Normalization的優點

    最後，對Batch Normalization的優點進行總結，大概有以下幾個方面：

• 可以採用更高的學習率，提高模型訓練的速度，並且可以有效避免梯度的消失和爆炸
• 起到正則化的作用，類似dropout的功能
• 不用太在意引數的初始化