教程 | 僅需六步，從零實現機器學習演算法！
從頭開始寫機器學習演算法能夠獲得很多經驗。當你最終完成時，你會驚喜萬分，而且你明白這背後究竟發生了什麼。
有些演算法比較複雜，我們不從簡單的演算法開始，而是要從非常簡單的演算法開始，比如單層感知器。
本文以感知器為例，通過以下 6 個步驟引導你從頭開始寫演算法：
● 對演算法有基本的瞭解● 找到不同的學習資源
● 將演算法分解成塊
● 從簡單的例子開始
● 用可信的實現進行驗證
● 寫下你的過程
基本瞭解
不瞭解基礎知識，就無法從頭開始處理演算法。至少，你要能回答下列問題：
● 它是什麼？● 它一般用在什麼地方？
● 什麼時候不能用它？
就感知器而言，這些問題的答案如下：
● 單層感知器是最基礎的神經網路，一般用於二分類問題（1 或 0，「是」或「否」）。● 它可以應用在一些簡單的地方，比如情感分析（積極反應或消極反應）、貸款違約預測（「會違約」，「不會違約」）。在這兩種情況中，決策邊界都是線性的。
● 當決策邊界是非線性的時候不能使用感知器，要用不同的方法。
藉助不同的學習資源
在對模型有了基本瞭解之後，就可以開始研究了。有人用教科書學得更好，而有人用視訊學得更好。就我而言，我喜歡到處轉轉，用各種各樣的資源學習。
如果是學數學細節的話，書的效果很好（參見：https://www.dataoptimal.com/data-science-books-2018/），但對於更實際的例子，我更推薦部落格和 YouTube 視訊。
以下列舉了一些關於感知器不錯的資源：
書
● 《統計學習基礎》（The Elements of Statistical Learning），第 4.5.1 節（https://web.stanford.edu/~hastie/Papers/ESLII.pdf）● 《深入理解機器學習：從原理到演算法》，第 21.4 節（https://www.cs.huji.ac.il/~shais/UnderstandingMachineLearning/understanding-machine-learning-theory-algorithms.pdf）
部落格
● Jason Brownlee 寫的《如何用 Python 從零開始實現感知器演算法》（https://machinelearningmastery.com/implement-perceptron-algorithm-scratch-python/）● Sebastian Raschka 寫的《單層神經網路和梯度下降》（https://sebastianraschka.com/Articles/2015_singlelayer_neurons.html）
視訊
● 感知器訓練（https://www.youtube.com/watch?v=5g0TPrxKK6o）● 感知器演算法的工作原理（https://www.youtube.com/watch?v=1XkjVl-j8MM）
將演算法分解成塊
現在我們已經收集好了資料，是時候開始學習了。與其從頭讀一個章節或者一篇部落格，不如先瀏覽章節標題和其他重要資訊。寫下要點，並試著概述演算法。
在看過這些資料之後，我將感知器分成下列 5 個模組：
● 初始化權重● 將輸入和權重相乘之後再求和
● 比較上述結果和閾值，計算輸出（1 或 0）
● 更新權重
● 重複
接下來我們詳細敘述每一個模組的內容。
1. 初始化權重
首先，我們要初始化權重向量。
權重數量要和特徵數量相同。假設我們有三個特徵，權重向量如下圖所示。權重向量一般會初始化為 0，此例中將一直採用該初始化值。
2. 輸入和權重相乘再求和
接下來，我們就要將輸入和權重相乘，再對其求和。為了更易於理解，我給第一行中的權重及其對應特徵塗上了顏色。
在我們將特徵和權重相乘之後，對乘積求和。一般將其稱為點積。
最終結果是 0，此時用「f」表示這個暫時的結果。
3. 和閾值比較
計算出點積後，我們要將它和閾值進行比較。我將閾值定為 0，你可以用這個閾值，也可以試一下其他值。
由於之前計算出的點積「f」為 0，不比閾值 0 大，因此估計值也等於 0。
將估計值標記為「y hat」，y hat 的下標 0 對應的是第一行。當然你也可以用 1 表示第一行，這無關緊要，我選擇從 0 開始。
如果將這個結果和真值比較的話，可以看出我們當前的權重沒有正確地預測出真實的輸出。
由於我們的預測錯了，因此要更新權重，這就要進行下一步了。
4. 更新權重
我們要用到下面的等式：
基本思想是在迭代「n」時調整當前權重，這樣我們將在下一次迭代「n+1」時得到新權重。
為了調整權重，我們需要設定「學習率」，用希臘字母「eta（η）」標記。我將學習率設為 0.1，當然就像閾值一樣，你也可以用不同的數值。
目前本教程主要介紹了：
現在我們要繼續計算迭代 n=2 時的新權重了。
我們成功完成了感知器演算法的第一次迭代。
5. 重複
由於我們的演算法沒能計算出正確的輸出，因此還要繼續。
一般需要進行大量的迭代。遍歷資料集中的每一行，每一次迭代都要更新權重。一般將完整遍歷一次資料集稱為一個「epoch」。
我們的資料集有 3 行，因此如果要完成 1 個 epoch 需要經歷 3 次迭代。我們也可以設定迭代總數或 epoch 數來執行演算法，比如指定 30 次迭代（或 10 個 epoch）。與閾值和學習率一樣，epoch 也是可以隨意使用的引數。
在下一次迭代中，我們將使用第二行特徵。
此處不再重複計算過程，下圖給出了下一個點積的計算：
接著就可以比較該點積和閾值來計算新的估計值、更新權重，然後再繼續。如果我們的資料是線性可分的，那麼感知器最終將會收斂。
從簡單的例子開始
我們已經將演算法分解成塊了，接下來就可以開始用程式碼實現它了。
簡單起見，我一般會以非常小的「玩具資料集」開始。對這類問題而言，有一個很好的小型線性可分資料集，它就是與非門（NAND gate）。這是數位電路中一種常見的邏輯閘。
由於這個資料集很小，我們可以手動將其輸入到 Python 中。我添加了一列值為 1 的虛擬特徵（dummy feature）「x0」，這樣模型就可以計算偏置項了。你可以將偏置項視為可以促使模型正確分類的截距項。
以下是輸入資料的程式碼：
# Importing libraries
# NAND Gate
# Note: x0 is a dummy variable for the bias term
# x0 x1 x2
x = [[1., 0., 0.],
[1., 0., 1.],
[1., 1., 0.],
[1., 1., 1.]]
y =[1.,
1.,
1.,
0.]
與前面的章節一樣，我將逐步完成演算法、編寫程式碼並對其進行測試。
1. 初始化權重
第一步是初始化權重。
# Initialize the weights
import numpy as np
w = np.zeros(len(x[0]))
Out:
[ 0. 0. 0.]
注意權重向量的長度要和特徵長度相匹配。以 NAND 門為例，它的長度是 3。
2. 將權重和輸入相乘並對其求和
我們可以用 Numpy 輕鬆執行該運算，要用的方法是 .dot()。
從權重向量和第一行特徵的點積開始。
# Dot Product
f = np.dot(w, x[0])
print f
Out:
0.0
如我們所料，結果是 0。為了與前面的筆記保持連貫性，設點積為變數「f」。
3. 與閾值相比較
為了與前文保持連貫，將閾值「z」設為 0。若點積「f」大於 0，則預測值為 1，否則，預測值為 0。將預測值設為變數 yhat。
# Activation Function
z = 0.0
if f > z:
yhat = 1.
else:
yhat = 0.
print yhat
Out:
0.0
正如我們所料，預測值是 0。
你可能注意到了在上文程式碼的註釋中，這一步被稱為「啟用函式」。這是對這部分內容的更正式的描述。
從 NAND 輸出的第一行可以看到實際值是 1。由於預測值是錯的，因此需要繼續更新權重。
4. 更新權重
現在已經做出了預測，我們準備更新權重。
# Update the weights
eta = 0.1
w[0] = w[0] + eta*(y[0] - yhat)*x[0][0]
w[1] = w[1] + eta*(y[0] - yhat)*x[0][1]
w[2] = w[2] + eta*(y[0] - yhat)*x[0][2]
print w
Out:
[ 0.1 0. 0. ]
要像前文那樣設定學習率。為與前文保持一致，將學習率 η 的值設為 0.1。為了便於閱讀，我將對每次權重的更新進行硬編碼。
權重更新完成。
5. 重複
現在我們完成了每一個步驟，接下來就可以把它們組合在一起了。
我們尚未討論的最後一步是損失函式，我們需要將其最小化，它在本例中是誤差項平方和。
我們要用它來計算誤差，然後看模型的效能。
把它們都放在一起，就是完整的函式：
import numpy as np
# Perceptron function
def perceptron(x, y, z, eta, t):
'''
Input Parameters:
x: data set of input features
y: actual outputs
z: activation function threshold
eta: learning rate
t: number of iterations
'''
# initializing the weights
w = np.zeros(len(x[0]))
n = 0
# initializing additional parameters to compute sum-of-squared errors
yhat_vec = np.ones(len(y)) # vector for predictions
errors = np.ones(len(y)) # vector for errors (actual - predictions)
J = [] # vector for the SSE cost function
while n < t: for i in xrange(0, len(x)): # dot product f = np.dot(x[i], w) # activation function if f >= z:
yhat = 1.
else:
yhat = 0.
yhat_vec[i] = yhat
# updating the weights
for j in xrange(0, len(w)):
w[j] = w[j] + eta*(y[i]-yhat)*x[i][j]
n += 1
# computing the sum-of-squared errors
for i in xrange(0,len(y)):
errors[i] = (y[i]-yhat_vec[i])**2
J.append(0.5*np.sum(errors))
return w, J
現在已經編寫了完整的感知器程式碼，接著是執行程式碼：
# x0 x1 x2
x = [[1., 0., 0.],
[1., 0., 1.],
[1., 1., 0.],
[1., 1., 1.]]
y =[1.,
1.,
1.,
0.]
z = 0.0
eta = 0.1
t = 50
print "The weights are:"
print perceptron(x, y, z, eta, t)[0]
print "The errors are:"
print perceptron(x, y, z, eta, t)[0]
Out:
The weights are:
[ 0.2 -0.2 -0.1]
The errors are:
[0.5, 1.5, 1.5, 1.0, 0.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]
我們可以看到，第 6 次迭代時誤差趨近於 0，且在剩餘迭代中誤差一直是 0。當誤差趨近於 0 並保持為 0 時，模型就收斂了。這告訴我們模型已經正確「學習」了適當的權重。
下一部分，我們將用計算好的權重在更大的資料集上進行預測。
用可信的實現進行驗證
到目前為止，我們已經找到了不同的學習資源、手動完成了演算法，並用簡單的例子測試了演算法。
現在要用可信的實現和我們的模型進行比較了。
我們使用的是 scikit-learn 中的感知器：http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.Perceptron.html。
我們將按照以下幾步進行比較：
● 匯入資料● 將資料分割為訓練集和測試集
● 訓練感知器
● 測試感知器
● 和 scikit-learn 感知器進行比較
1. 匯入資料
首先匯入資料。你可以在這裡（https://github.com/dataoptimal/posts/blob/master/algorithms from scratch/dataset.csv）得到資料集的副本。這是我建立的線性可分資料集，確保感知器可以起作用。為了確認，我們還將資料繪製成圖。
從圖中很容易看出來，我們可以用一條直線將資料分開。
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
df = pd.read_csv("dataset.csv")
plt.scatter(df.values[:,1], df.values[:,2], c = df['3'], alpha=0.8)