字串的非精確匹配問題（inexact matching），也就是字串的對齊問題（string alignment）。對於字串的exact matching問題，KMP、Suffix Tree等方法是利器，但是對於inexact matching，這些方法就有些吃力了，雖然也能使用Suffix Tree解決一些錯配問題或萬用字元問題，但是使用範圍很有限。對於inexact matching，一般使用動態規劃( Dynamic Programming )處理。DP是老朋友了，時隔6年，好久不見。這裡使用的DP比較簡單，轉移方程容易理解，畢竟是簡單的線性DP。

編輯距離（Edit distance）

這道題很經典啊，當初刷這道題時真的沒想到今天會從生信的角度來重溫，切身體會見證了演算法的實用性。

轉移方程： D(i, j) = min[D(i - 1, j) + 1, D(i, j - 1) + 1, D(i -i, j-i) + t(i, j)].

初始條件：D(i, 0) = i ，D(0, j) = j.  

注：當Si(i) !=S2(j)時，t(i, j)=1;  當S1(i) = S2(j)時，t(i, j)=0. 

帶權重的編輯距離（Weighted edit distance）

匹配是需要代價或獎勵的。所謂權重，有兩種型別，第一種是基於基本操作的權重，第二種是基於代價表格的權重。

基於基本操作的權重。對於insertion或deletion給定代價d、對於substitution（replacement）給定代價r，對於match給定獎勵e，在此基礎上計算編輯距離。

轉移方程：D(i, j) = min[D(i, j - 1) + d, D(i - 1, j) + d, D(i - 1, j - 1) + t(i, j)]. 

初始條件：D(i, 0) = i x d ，D(0, j) = j x d. 

基於代價表格的權重。將insertion或deletion看成分別向兩個字串增加空格space（或破折號dash），將兩個字串出現過的所有字元和space（或破折號dash）組成新的集合，對於該集合中的任意兩個字元，給出匹配代價s（x，y），得到代價表格s。令V(i,j)表示兩個字首S1[1...i]和S2[1...j]的最優匹配代價。（常常將錯配代價記為負值，匹配獎勵記為正值，那麼此處的匹配代價說成匹配值比較好，並且需要使這個匹配值最大化）

轉移方程：V(i, j) = max[ V(i -1,j-1)+ s(S1(i), S2(j)), V(i - 1, j) + s(S1(i), - ), V(i, j-1)+s( _ , S2(j) ) ].

初始條件：

區域性匹配（Local alignment）

區域性匹配可能是更為常見的問題，比如蛋白質具有特定的功能片段（舉例：motif ），有的蛋白質在種間具有進化保守片段，等等問題實際上可以轉化為區域性匹配的問題。

先看一個定義：區域性字尾匹配（Local suffix alignment）。尋找字首S1[1...i]的字尾a 和字首S2[1...j]的字尾b，使得匹配值V（a，b）最大化，並記錄這個最大化的值為v(i, j)。可以證明，最佳區域性匹配的匹配值 vmax = max[v(i, j) : i <= n, j <= m]. 

轉移方程：v(i, j) = max[0, v(i - 1, j - 1) + s(S1(i), S2(j)), v(i -1,j) + s(S1(i),-), v(i, j - 1) + s(-, S2(j)) ].

初始條件：v(i, 0) = 0， v(0, j) = 0.

間隔問題（Gaps）

Gaps也是十分常見的問題，因為在生物序列匹配時，我們可能更關心匹配過程出現了多少個間隔，而不那麼關心每個間隔裡有多少空格。若出現一個Gap需要代價Wg，出現一個空格需要代價Ws，則出現一個連續m個空格形成的Gap需要代價Wg+m×Ws。利用Gaps模型，我們可以通過調整Wg和Ws的值，來實現不同的匹配效果：當增大Wg時，匹配結果更傾向於Gaps更少、片段更集中; 當增大Ws時，匹配結果更傾向於Gaps更多、片段更零散。

Gaps的權重有四種類型：常數型（constant）、仿射型（affine）、凸面型（convex）、任意型（arbitrary）。

常數型：maximize [Wm(# matches) - Wms(# mismatches) -Wg (# gaps)]. 

仿射型：maximize [Wm(# matches) - Wms(# mismatches) - Wg(# gaps) - Ws(# spaces)]. （仿射即：y=a+bx）

凸面型：在同一個Gap中，後面增加的space所需的代價比前面的space的代價小。如：Wg+log q（q表示Gap長度）。

任意型：根據Gap的長度不同，Gap總代價值w(q)為任意值（q表示Gap長度），即w(q+1)-w(q)不一定是常數。放射型是任意型的特例。

任意型

首先將匹配情況分為以下三種：

第一種情況，S1[i]與S2[k]對齊（其中k<j），也就是說，此時在S1的第i個位置後增加 (j-k)個空格實現對齊，記這種情況的最優匹配值為E(i ,j)。

第二種情況，S1[k]與S2[j]對齊（其中k<i），也就是說，此時在S2的第j個位置後增加 (i-k)個空格實現對齊，記這種情況的最優匹配值為F(i ,j)。

第三種情況，S1[i]與S2[j]對齊，記這種情況的最優匹配值為G(i ,j)。

記V(i ,j) 為 E(i ,j)、F(i ,j)、G(i ,j)的最大值。

轉移方程：

注意：w(q+1)-w(q)不一定是常數。

初始條件：

仿射型

轉移條件：

理解：若E(i ,j)由E(i ,j-1)轉移而來，則無需新建Gap，也就不需要花費代價Wg。F(i ,j)的理解同理。

初始條件：

凸面型

請參考Algorithms on Strings, Trees and Sequences一書的12.6章節，方法也是基於動態規劃。