前言

看這篇部落格前，先去了解一下字尾陣列的基本操作吧：字尾陣列入門（一）——字尾排序。

這篇部落格的內容，主要建立於字尾排序的基礎之上，進一步研究一個\(Height\)陣列以及如何求\(LCP\)。

什麼是\(LCP\)

\(LCP\)，即\(Longest\ Common\ Prefix\)，是最長公共字首的意思。

而在後綴陣列中，\(LCP(i,j)\)表示字尾\(_{SA_i}\)與字尾\(_{SA_j}\)的最長公共字首的長度，注意是\(SA_i\)和\(SA_j\)，而不是\(i\)和\(j\)。

\(LCP\)的性質

先是幾個比較簡單的基本性質：

• \(LCP(i,j)=LCP(j,i)\)

  這應該是比較顯然的。

• \(LCP(i,i)=n-SA_i+1\)

  這個性質非常重要，因為在求\(LCP\)的過程中要特判該情況，不然會死得特別慘。

接下來，是一些比較複雜的性質：

• \(LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)（對於任意\(1\le i\le k\le j\)）

  首先，設\(x=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)，則可得\(LCP(i,k)\ge x,LCP(j,k)\ge x\)。

  因此我們可以知道字尾\(_{SA_i}\)，字尾\(_{SA_j}\)的前\(x\)個字元分別與字尾\(_{SA_k}\)的前\(x\)個字元相等

  。

  則字尾\(_{SA_i}\)，字尾\(_{SA_j}\)的前\(x\)個字元相等，即\(LCP(i,j)\ge x\)。

  而由於字尾\(_{SA_i}<\)字尾\(_{SA_k}<\)字尾\(_{SA_{j}}\)，且由\(x=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)可得，\(LCP(i,j)\le x\)。

  故\(LCP(i,j)=x\)。

• \(LCP(i,j)=min_{k=i}^{j-1}LCP(k,k+1)\)

  由\(LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)這個性質，我們可以把\(LCP(i,j)\)拆成\(j-i\)個部分，分別為\(LCP(i,i+1),LCP(i+1,i+2),...,LCP(j-1,j)\)

  。

  然後再取\(min\)即可。

這兩個性質雖然看似令人匪夷所思，但仔細理解其實還是能看懂的。

這兩個性質在\(LCP\)的求解過程中發揮著十分重要的作用。

\(Height\)陣列

為了方便求解\(LCP\)，我們需要在定義一個新的陣列：\(Height\)陣列。

\(Height_i\)表示的是\(LCP(i,i+1)\)。

因此\(LCP(i,j)\)的結果就是\(min_{k=i}^{j-1}Height_i\)，這似乎可以在知道\(Height\)陣列的情況下用\(RMQ\)實現\(O(1)\)求解。

於是關鍵來了：如何求出\(Height\)陣列。

如何求\(Height\)陣列

首先我們要知道一個性質\(Height_{SA_i}\ge Height_{SA_{i-1}}\)。

這個性質我也不會證，反正它還是挺簡單的，背一下就好了。

這樣一來，我們每次可以把\(Height_{SA_i}\)初始化為\(Height_{SA_{i-1}}\)，然後每次儘量向外延長即可，這一過程似乎與\(Manacher\)演算法有點類似。

程式碼

放一份求\(Height\)陣列及\(LCP\)的模板程式碼：

class Class_SuffixArray
{
    private:
        int n,SA[N+5],Height[N+5],rk[N+5],pos[N+5],tot[N+5];
        inline void RadixSort(int S)//基數排序
        {
            register int i;
            for(i=0;i<=S;++i) tot[i]=0;
            for(i=1;i<=n;++i) ++tot[rk[i]];
            for(i=1;i<=S;++i) tot[i]+=tot[i-1];
            for(i=n;i;--i) SA[tot[rk[pos[i]]]--]=pos[i];
        }
        inline void GetSA(char *s)//字尾排序，求SA陣列
        {
            register int i,k,Size=122,cnt=0;
            for(i=1;i<=n;++i) rk[pos[i]=i]=s[i-1];
            for(RadixSort(Size),k=1;cnt<n;k<<=1)
            {
                for(Size=cnt,cnt=0,i=1;i<=k;++i) pos[++cnt]=n-k+i;
                for(i=1;i<=n;++i) SA[i]>k&&(pos[++cnt]=SA[i]-k);
                for(RadixSort(Size),i=1;i<=n;++i) pos[i]=rk[i];
                for(rk[SA[1]]=cnt=1,i=2;i<=n;++i) rk[SA[i]]=(pos[SA[i-1]]^pos[SA[i]]||pos[SA[i-1]+k]^pos[SA[i]+k])?++cnt:cnt;
            }
        }
        inline void GetHeight(char *s)//求Height陣列
        {
            register int i,j,k=0;
            for(i=1;i<=n;++i) rk[SA[i]]=i;//更新rk陣列
            for(i=1;i<=n;++i)
            {
                if(k&&--k,!(rk[i]^1)) continue;//對於rk[i]=1的情況直接跳過
                j=SA[rk[i]-1];//找到上一個字尾的座標
                while(i+k<=n&&j+k<=n&&!(s[i+k-1]^s[j+k-1])) ++k;//儘量拓展
                Height[rk[i]]=k;//存值
            }
        }
        class Class_RMQ//RMQ求區間最值
        {
            private:
                #define LogN 15
                int Log2[N+5],Min[N+5][LogN+5];
            public:
                inline void Init(int len,int *data)
                {
                    register int i,j;
                    for(i=2;i<=len;++i) Log2[i]=Log2[i>>1]+1;
                    for(i=1;i<=len;++i) Min[i][0]=data[i];
                    for(j=1;(1<<j-1)<=len;++j) for(i=1;i+(1<<j-1)<=len;++i) Min[i][j]=min(Min[i][j-1],Min[i+(1<<j-1)][j-1]);
                }
                inline int GetMin(int l,int r) {register int k=Log2[r-l+1];return min(Min[l][k],Min[r-(1<<k)+1][k]);}
        }RMQ;
    public:
        inline void Init(int len,char *s) {n=len,GetSA(s),GetHeight(s),RMQ.Init(n,Height);}//初始化
        inline int LCP(int x,int y) {return x^y?(rk[x]>rk[y]&&swap(x,y),RMQ.GetMin(rk[x]+1,rk[y])):n-x+1;}//求LCP，注意特判x=y的情況
};