學習筆記第三十二節：線性規劃與單純形
正題
我們今天講一下線性規劃，以這一道題為例：#179. 線性規劃
首先面對一堆小於等於的約束，我們應該怎麼做？
我們以樣例來解釋：
有四條約束，要同時滿足：
同時，我們要使得最大。
首先，我們可以把可行解在一個二維平面上表示出來。
如圖，可行解就是藍色部分，我們要使得最大，那麼我們就用一條
這就是圖解法。如果有三個變數就是一個立體空間裡面，用一個平面從上往下掃就可以了。但是4個變數的時候就難以構建了。
這就是單純形的應用。
首先我們可以多設兩個變數，把小於等於號去掉。
這個也是沒有錯的，對吧。
我們把答案也寫進去，就變成了。
再變形一下，就變成：
當出現這樣的，常數項是非負的，所有的等式右邊的變數都是一樣的，我們把它叫做基可行解形式。
左邊的變數叫做基變數，右邊的變數叫做非基變數。
在這個時候，我們構造一組答案是極其簡單的，就是讓右邊的變數全部為0，然後左邊的變數就等於右邊的常數項，向上面的方程組，有一個顯然的解就是。
這組解肯定是可行的，而且我們可以保證這組解一定在集合上的多邊形的頂點上。（具體為什麼請先繼續往下看
我們考慮怎麼將答案增大？
我們可以看到，是非基變數，也就是說，他現在取0.
但是他其實可以取到更大，那它到底能取到多大呢？
就要看下面的約束了，對於第一個約束，他最大能取到3（6/2），對於第二個約束，這個約束對是沒有約束的，因為在第二個約束中，
不管取到多大，約束都是成立的。
那麼我們只能選第一個約束。
那如果我們讓為3，其他變數最好的情況就是取0。
所以，我們讓作為基變數，讓這個約束原來的基變數換做為非基變數。
顯然這樣子還不是基可行解形式，因為在兩邊都出現了。
那我們做一遍高斯消元就可以了！（意思就是把帶進其他有
的地方。
就變成了
那我們就得到了一個更大的解。
回想一下，我們剛剛乾了些什麼？
首先，我們在答案裡面，找出了一個係數大於0的非基變數，這個非基變數，我們把它叫做這一次操作的換入變數，接著，我們又找到一個對這個換入變數約束最緊的約束。將它與這條約束原來的基變數進行一個交換，我們把這個基變數叫做換出變數，這個交換叫做轉軸。接著，我們用這個式子對每一個式子進行高斯消元。
我們就可以得到一組更大的解。當答案式子中非基變數都小於0了。我們就可以斷定答案無法增大了。
如果我們找到了一個大於0的非基變數，但是我們找不到一個約束這個非基變數的約束（係數大於0）。
那麼這個約束就可以無限增大，那麼就是無最大解（Unbounded）的情況。
我們已經解決了如果有一個基可行解的時候，怎麼去找到一個更優的解。
如果我們一開始沒有一個基可行解呢？也就是說，如果我們一開始的約束不滿足基可行解形式呢？
就像第二個樣例：
是不滿足基可行解的形式的。
存在一種解法，可以檢驗是否存在一個初始解。這個方法就是給每一條約束的右邊都加上一個人工變數A，其中A大於等於0.
然後我們儘量使A小，也就是說當A=0時，才存在一個初始解。
因為給每一條約束右邊都加上一個人工變數A就相當於，那麼當A=0時，就是原來的約束。
顯然，我們只要把答案設為-A就可以了，因為可以使得-A最大，從而使得A最小。
但是，現在還是不滿足基可行解形式的，怎麼辦呢？
我們選出常數項最小的那一行。將那一行的A轉軸成一個基變數。
像上面，我們選出第二個約束。
現在肯定可以保證所有的約束都滿足基可行解形式了。
用單純形演算法來求出A的最小值（-A的最大值）就可以了。
若A=0，那麼就有一個初始解，我們將原來的答案序列代入，如果存在一個變數是基變數，那麼就先換成非基變數，最後得出第一組解。
若A不等於0，那麼說明不存在第一組解，程式結束。
剩下的再交給單純形演算法就可以了。
這樣的時間複雜度是很優秀的（隨機情況下）。
但是程式碼量大，不容易實現。
有一種十分玄學的隨機做法。
就是對於一個約束，如果常數項小於0，那麼我們找到一個正係數的非基變數，將這個非基變數轉軸，常數項就大於0了。
如果找不到正係數的非基變數，那麼說明就不存在一個解，因為。
那麼就很好的完美的解決這類的約束最值問題。
程式碼
如果真的要把每一條約束的左右兩邊的存下來，那無疑是非常麻煩的。
其實每一條約束都可以寫成 其中S是一個常數。
那麼我們就可以寫成一個矩陣的形式。
每一行的基變數用一個數組存下來就可以了。
當我們要找一個換入變數的時候，我們還是在第0行找一個正係數的非基變數x。
但是在找一個換出變數的時候，我們要找一行，使得這一行的非基變數x大於0，而不是小於0的。因為相當於一個移項。
轉軸，就相當於給這一行都除以這個非基變數。再給其他行做高斯消元。
注意，這個時候，第0行（答案行）的常數項是答案的相反數。
因為每一次轉軸和高斯消元的過程，就變成了給答案減去一個數。
另外，我們注意到基變數的係數肯定為1，而非基變數只有n個，我們只要每行開n個空間，存下非基變數的係數就可以了。
id表示第i個非基變數存的是幾號變數，id[n+i]表示第i行的基變數是幾號變數。
uoj資料太噁心。97分過不了（其實沒有人過得了
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,t;
double a[30][25];
double eps=1e-5;
int id[45];
double ans[25];
void pivot(int x,int y){
swap(id[n+x],id[y]);
double temp=a[x][y];
for(int i=0;i<=n;i++) a[x][i]/=temp;
a[x][y]=1/temp;
for(int i=0;i<=m;i++) if(x!=i){
temp=a[i][y];a[i][y]=0;
for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]-=temp*a[x][j];
}
}
bool prepare(){
int x,y;
while(1){
x=y=0;
for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][0]<-eps) {x=i;if(rand()%3!=0) break;}
if(!x) break;
for(int i=1;i<=n;i++) if(a[x][i]<-eps) {y=i;if(rand()%3!=0)break;}
if(!y){
printf("Infeasible");
return false;
}
pivot(x,y);
}
return true;
}
bool simplex(){
int x,y;
double mmin;
while(1){
x=y=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(a[0][i]>eps) {y=i;break;}
if(!y) break;
mmin=(double)1e18;
for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][y]>eps && a[i][0]/a[i][y]<mmin) {x=i;mmin=a[i][0]/a[i][y];}
if(!x) {
printf("Unbounded");
return false;
}
pivot(x,y);
}
return true;
}
int main(){
srand(23333);
scanf("%d %d %d",&n,&m,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[0][i]);
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]);
scanf("%lf",&a[i][0]);
}
for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i;
if(prepare() && simplex()){
printf("%.8lf\n",-a[0][0]);
if(t){
for(int i=1;i<=m;i++) if(id[n+i]>=1)ans[id[n+i]]=a[i][0];
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.8lf ",ans[i]);
}
}
}關於對偶:
前面我們研究的問題都是“約束為小於等於，求最大值的問題”，然而現在要求解得問題是"約束為大於等於，求最小值的問題"。
首先符號不是問題，我們只要將兩邊同時乘上-1，就可以變號了。
最小值也不是問題，那我們在單純形演算法的時候，在答案式拿出一個係數為負的就可以了。
但是這樣使得在找初始解的時候可能會變慢許多，所以，有人可以證明上面的兩個問題是一個對偶問題，也就是答案相同。
那麼怎麼個對偶法呢？
對於標準型線性規劃問題：
它的對偶問題是：
相關證明請翻閱演算法導論。
其中A是一個係數矩陣，是A的轉置。
表示的是第i行的A。
另外的，對於的任意一個n*n的矩陣行列式都為
，那麼這個線性規劃問題的最優解是整數。當然，還要求
都為整數矩陣。