1.什麼是數學歸納法？

數學歸納法用於證明在自然數上的一些斷言是否成立。

怎麼證明斷言對所有自然數成立？
第一步：證明N=1是成立的
第二步：證明N>1時，如果對於N-1成立，那麼對於N成立

（第二步不是直接證明，而是先假設N-1成立，再利用這個結論證明N是成立的）

例子：
用數學歸納法證明 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
第一步：
1 = 1*2/2
第二步：
①假設對於n-1的情況下成立
1+2+3+…+(n-1) = (n-1)n/2
②利用假設結論帶進去
1+2+3…+(n-1)+n = (n-1)n/2+n = n(n+1)/2

2.什麼是遞迴函式？

當一個函式直接或間接地呼叫自身定義時就稱為遞迴(recursive)。在思想上遞迴類似於數學歸納法。

編寫遞迴程式的時候，關鍵是要牢記遞迴的四條基本法則：

1.基準情形。 必須有某些基準情形不用遞迴就能求解。
2.不斷推進。 對於那些需要遞迴求解的情形。遞迴呼叫必須總能朝著基準情形的方向邁進。
3.設計法則。 假設所有的遞迴呼叫都能執行。
4.合成效益法則。 在求解一個問題的同一例項時，切勿在不同的遞迴調動中做重複性的工作。（攤還分析）

實現遞迴的三要素

1.方法中出現自己呼叫自己
2.要有分支
3.要有結束條件

3.遞迴的實現的例子

爬樓梯演算法

已知一個樓梯有n個臺階，每次可以選擇邁上一個或者兩個臺階，求走完一共有多少種不同的走法。

	public static int climbStairs(int n) {

        if(n<=0)
            return 0;
        if(n==1){
            return 1;
        }
        if(n==2){
            return 2;
        }
        else
            return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }

分析一下這個演算法：
A：如果有0個臺階，那麼有0種走法，這個不用多說；
B：如果有1個臺階，那麼有1種走法；
C：如果有2個臺階，那麼有2種走法（一次走1個，走兩次；一次走兩個）；
以上的B和C就是基礎情形。
D：接下來就是遞迴了，如果臺階數目多於2個，那麼首先第一步就有兩種選擇：第一次走1個，或者第一次走兩個。這樣除了第一次後邊的走法就有了兩種情形：climbStairs(n-1)和climbStairs(n-2)。這樣一直遞迴下去，直到出現到了基礎情形（即n=1或n=2的情形），遞迴到這個地方（基礎情形），然後開始回溯 ，這就是所說的和遞迴密切相關的“回溯”了。回溯，顧名思義就是從結果倒著回去，找到整個過程，進而分析這個路徑或者說是實現的過程。

需要注意的是，這個演算法實現思路上簡單，但是複雜度並沒有降低，還牽扯回溯儲存堆疊問題(其實遞迴的設計儘量避免這種巢狀兩個的遞迴方式（climb（n）中包含climb（n-1）和climb（n-2）），這種操作會使得堆疊開闢空間隨著n的增大以指數型增長，最終程式很容易崩潰），而且在臺階數目多到一定數量的時候會越界（走法次數會超出int的範圍），所以遞迴程式很大程度上就是思想實現設計上簡單理解一些。

漢諾塔問題

一次只能移動一個盤子；不能把大盤子放在小盤子上；除去盤子在兩個柱子之間移動的瞬間，盤子必須都在柱子上。（在這三點要求下把盤子從起始柱子A全部移動到目標柱子C上）

程式碼如下：

基礎情形：n==1的時候終止遞迴，進行回溯。

/**
 * 漢諾塔問題
 *
 *  n個的移動次數=(n-1)的移動次數+1+(n-1)的移動次數
 *
 *  1個的時候是1次
 *  2個的時候是 2*1+1
 *  3個的時候是 2*(2*1+1)+1
 *  ...
 *  n個的時候是 2^n-1
 *
 */
public class Hanoi {

    /**
     *
     * @param n 盤子的數目
     * @param origin 源座
     * @param assist 輔助座
     * @param destination 目的座
     */
    public void hanoi(int n, char origin, char assist, char destination) {
        if (n == 1) {
            move(origin, destination);
        } else {
            hanoi(n - 1, origin, destination, assist);
            move(origin, destination);
            hanoi(n - 1, assist, origin, destination);
        }
    }

    // Print the route of the movement
    private void move(char origin, char destination) {
        System.out.println("Direction:" + origin + "--->" + destination);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Hanoi hanoi = new Hanoi();
        hanoi.hanoi(4, 'A', 'B', 'C');
    }


}

4.遞迴和迴圈

如果我們要重複地多次計算相同的問題，通常可以選擇用遞迴或者迴圈兩種不同的方法。遞迴是在一個函式的內部呼叫這個函式自身。而迴圈這是通過設定計算的初始值及終止條件，在一個範圍內重複計算。比如求1+2+3+…+n,我們可以用遞迴或者迴圈兩種方式求出結果。對應的程式碼如下：

 public  int AddFrom1ToN_Recursive(int n) {
    return n <= 0 ? 0 :n + AddFrom1ToN_Recursive(n - 1);
}

public int AddFrom1ToN_Iternative(int n) {
    int result = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        result += i;
    return result;
}

5.遞迴的缺點

遞迴雖然有簡潔的優點，但它同時也有顯著的缺點。

遞迴由於是函式呼叫自身，而函式呼叫是有空間和時間的消耗的：每一次函式呼叫，都需要在記憶體棧中分配空間以儲存引數、返回的地址及臨時變數，而且往棧裡壓入資料和彈出資料都需要時間。這就不難理解上述的例子中遞迴實現的效率不如迴圈。

另外，遞迴中有可能很多計算都是重複的，從而對效能帶來很大的負面影響。遞迴的本質是把一個問題分解成兩個或多個小問題。如果多個小問題存在相互重疊的部分，那麼就存在重複的計算。

除了效率以外，遞迴還有可能引起更嚴重的問題：呼叫棧溢位。前面分析中提到需要為每一次函式呼叫在記憶體棧中分配空間，而每個程序的棧的容量是有限的。當遞迴呼叫的層級太多時，就會超出棧的容量，從而導致棧溢位。在上述的例子中，如果輸入的引數比較小，如10，它們都能返回結果55.但如果輸入的引數很大，比如5000，那麼遞迴程式碼在執行的時間就會出錯，但執行迴圈的程式碼能得到正確的結果12502500.
　　
參考
https://www.cnblogs.com/vincently/p/4191734.html
https://blog.csdn.net/ares_xxm/article/details/68957829