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概念

記號

有字母表中的符號組成的有限長度的序列。記號s的 長度記為 |s|。 長度為0的記號稱為 空記號，記為 ε。

有限自動機(Finite State Automaton)

為研究某種計算過程而抽象出的計算模型。 擁有有限個狀態，根據不同的輸入每個狀態可以遷移到其他的狀態。

非確定有限自動機(Nondeterministic Finite Automaton)

簡稱 NFA，由以下元素組成：

1. 有限狀態集合 S；

2. 有限輸入符號的字母表 Σ；

3. 狀態轉移函式 move；

4. 開始狀態  sSUB{0}；

5. 結束狀態集合 F， F ∈ S。

自動機初始狀態為 sSUB{0}，逐一讀入輸入字串中的每一個字母，根據當前狀態、讀入的字母， 由狀態轉移函式 move控制進入下一個狀態。如果輸入字串讀入結束時自動機的狀態屬於結束狀態集合 F， 則說明該自動機接受該字串，否則為不接受。

確定有限自動機(Deterministic Finite Automaton)

簡稱 DFA，是NFA的一種特例， 有以下兩條限制：

1. 對於空輸入 ε，狀態不發生遷移；

2. 某個狀態對於每一種輸入最多隻有一種狀態轉移。

將正則表示式轉換為NFA(Thompson構造法)

演算法

演算法1 將正則表示式轉換為NFA(Thompson構造法)

輸入 字母表Σ上的正則表示式r

輸出 能夠接受L(r)的NFA N

方法 首先將構成r

之後依照正則表示式r的文法規則，將生成的NFA按照下述規則3組合在一起。

規則1 對於空記號ε，生成下面的NFA。

規則2 對於Σ的字母表中的元素a，生成下面的NFA。

規則3 令正則表示式s和t的NFA分別為N(s)和N(t)。

a) 對於s|t，按照以下的方式生成NFA N(s|t)。

b) 對於st，按照以下的方式生成NFA N(st)。

c) 對於s*，按照以下的方式生成NFA N(s*)。

d) 對於(s)，使用s本身的NFA N(s)。

性質

演算法1生成的NFA能夠正確地識別正則表示式，並且具有如下的性質：

1. N(r)的狀態數最多為r中出現的記號和運算子的個數的2倍。
2. N(r)的開始狀態和結束狀態有且只有一個。
3. N(r)的各個狀態對於Σ中的一個符號，或者擁有一個狀態遷移，或者擁有最多兩個ε遷移。

示例

利用演算法1，根據正則表示式 r=(a|b)*abb 可以生成以下的NFA。

將NFA轉化為DFA

演算法

使用以下的演算法可以將NFA轉換成等價的DFA。

演算法2 將NFA轉化為DFA

輸入 NFA N

輸出 能夠接受與N相同語言的DFA D

方法 本演算法生成D對應的狀態遷移表Dtran。DFA的各個狀態為NFA的狀態集合， 對於每一個輸入符號，D模擬N中可能的狀態遷移。

定義以下的操作。

令 Dstates 中僅包含ε-closure(s), 並設定狀態為未標記;
while Dstates中包含未標記的狀態T do
begin
  標記T;
  for 各輸入記號a do
  begin
    U := ε-closure(move(T, a));
    if U不在Dstates中 then
      將 U 追加到 Dstates 中，設定狀態為未標記;
    Dtrans[T, a] := U;
  end
end

ε-closure(T)的計算方法如下：

將T中的所有狀態入棧;
設定ε-closure(T)的初始值為T;
while 棧非空 do
begin
  從棧頂取出元素t;
  for 從t出發以ε為邊能夠到達的各個狀態u do
    if u不在ε-closure(T)中 then
    begin
      將u追加到ε-closure(T)中;
      將u入棧;
    end
end

示例

將上面生成的NFA轉化為DFA。

最初，Dstates內僅有ε-closure(0) = A = {0, 1, 2, 4, 7}。然後對於狀態A，對於輸入記號a，計算 ε-closure(move(A, a)) = ε-closure(move({0, 1, 2, 4, 7}, a)) = ε-closure({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}， 即 B={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}, Dtran[A, a]=B。 對於狀態A，由輸入記號b能夠到達的僅有4->5，因此 C = ε-closure({5}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7}， 即 Dtran[A, b] = C。

以此類推，可得到以下的狀態和Dtran。

A = {0, 1, 2, 4, 7}          D = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}    E = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10}
C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

由此得出DFA如下圖所示。

NFA和DFA的效率

給定正則表示式r和輸入記號序列x，判斷r是否能夠接受x。

使用NFA的情況下， 由正則表示式生成NFA的時間複雜度為O(|r|)，另外由於NFA的狀態數最多為r的2倍，因此空間複雜度為O(|r|)。 由NFA判斷是否接受x時，時間複雜度為O(|r|×|x|)。因此，總體上處理時間與 r、x的長度之積成比例。 這種處理方法在x不是很長時十分有效。

如果使用DFA，由於利用DFA判斷是否接受x與狀態數無關，因此時間複雜度為O(|x|)。但是DFA的狀態數 與正則表示式的長度呈指數關係。例如，正則表示式 (a|b)*a(a|b)(a|b)...(a|b)，尾部有 n-1 個 (a-b)的話， DFA最小狀態數也會超過 2SUP{n}。