F. Ehab and a weird weight formula

題目連結：https://codeforces.com/contest/1088/problem/F

題意：

給出一顆點有權值的樹，滿足只有一個點的權值最小，然後除開這個點，每個點都有一個權值比它更小的點與之相鄰。

然後要求你重構這顆樹，滿足點權及邊權和最小。

點權計算方法: a_u = a_u*num(num為與之相鄰邊的個數);

邊權計算方法: e{u,v}，w_e = dis(u,v)*min(a_u,a_v)  (dis(u,v)為given tree中u和v的距離)。

題解：

首先我們若以權值最小的點為根，我們會發現這棵樹越往下，點的權值就會越大。

假定我們隨便選擇一對{u,v}，那麼對答案的貢獻就是 a_u+a_v+log2(dis(u,v))*min(a_u,a_v)，要讓權值最小，假設我們先固定u來尋找v，由於受到v的權值和dis(u,v)的限制，所以我們可以考慮採用貪心的思想，對於一個點u，我們儘可能地向其祖先找點v，同時算一下距離。最終會找到一個最優解。

但是直接列舉太慢了，發現首先我們可以優化一下，就是每次往上找2的倍數個結點（因為題目中是log2(dis(u,v)) ）。

由於a_v<a_u，所以每對{u,v}對答案的貢獻就是a_u+(log2(dis(u,v))+1)*a_v。

最終總複雜度是O(nlogn)。

程式碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 999999999999
using namespace std;

typedef long long ll ;
const int N =5e5+5 ;
int a[N],dp[25][N];
int n,st;
vector <int> vec[N];
ll ans;
void dfs(int u,int pa){
    dp[0][u]=pa;
    for(int i=1;i<20;i++){
        if(dp[i-1][u]==-1
 
) break ;
        dp[i][u]=dp[i-1][dp[i-1][u]];
    }
    ll minx = INF;
    int i;
    for(i=0;i<20;i++){
        if(dp[i][u]==-1) break ;
        minx=min((ll)(i+1)*a[dp[i][u]]+a[u],minx);
    }
    minx=min((ll)(i+1)*a[st]+a[u],minx);
    if(u!=st) ans+=minx;
    for(auto v:vec[u]){
        if(v!=pa) dfs(v,u);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    st=0;a[0]=1e9+5;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]<a[st])st=i;
    }
    for(int i=1,u,v;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        vec[u].push_back(v);
        vec[v].push_back(u);
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dfs(st,-1);
    printf("%I64d",ans);
    return 0;
}