題目連線：

題目：

解題思路：

1. 問題分析

設f(n)表示青蛙跳上n級臺階的跳法數。 當只有一個臺階時，即n = 1時，只有1中跳法； 當n = 2時，有2種跳法； 當n = 3 時，有3種跳法； 當n很大時，青蛙在最後一步跳到第n級臺階時，有兩種情況： 一種是青蛙在第n-1個臺階跳一個臺階，那麼青蛙完成前面n-1個臺階，就有f(n-1)種跳法，這是一個子問題。 另一種是青蛙在第n-2個臺階跳兩個臺階到第n個臺階，那麼青蛙完成前面n-2個臺階，就有f(n-2)種情況，這又是另外一個子問題。

兩個子問題構成了最終問題的解，所以當n>=3時，青蛙就有f(n)=f(n-1)+f(n-2)種跳法。 上面的分析過程，其實我們用到了動態規劃的方法，找到了狀態轉移方程，用數學方程表達如下：

仔細一看，這不就是傳說中的著名的斐波那契數列，但是與斐波那契數列的還是有一點區別，斐波那契數列從0開始，f(0)=0，f(1)=1,f(2)=1。斐波那契數列（Fibonacci Sequence），又稱黃金分割數列，因為當n趨於無窮大時，前一個數與後一個數的比值無限接近於黃金比例。

2.解題方法

（1）遞迴實現

有了初始狀態和狀態轉移方程，那麼程式設計實現求解就不難了，遞迴演算法實現如下：

package kuaishou;

public class qingwataijie {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println(JumpFloor(5));
	}
	
	private static int JumpFloor(int target) {
		if(target == 1) {
			return 1;
		}else if(target == 2) {
			return 2;
		}else {
			return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
		}
	}

}
 

 但是我們都知道遞迴的時間複雜度和空間複雜度都很大，因此該遞迴演算法的時間複雜度為O()，空間複雜度為O(n)。

不明白時間複雜度和空間複雜度怎麼算的，可以看一下這篇文章。

（2）迭代實現

能用遞迴實現的演算法，當然我們也能用迭代方法實現。

遞迴演算法的一個缺點就是重複計算。我們可以把已經得到的數列中間項儲存起來，如果下次需要計算的時候，我們先查詢一下，如果前面已經計算過就不用再重複計算了。

迭代法：首先根據f(0)和f(1)計算出f(2)，在根據f(1)和f(2)計算出f(3)......依次類推就可以算出第n項了。

package kuaishou;

public class qingwataijie {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println(JumpFloor(5));
	}
	
	private static int JumpFloor(int target) {
		if(target == 1) {
			return 1;
		}else if (target == 2) {
			return 2;
		}else {
			int res = 0; 
			int a = 1;
			int b = 2;
			for(int i=3; i<=target; i++) {
				res = a + b;
				a = b;
				b = res;
			}
			return res;
		}
	}

}
 

 迭代法實現的時間複雜度為O（n），空間複雜度為O（1）。

這個演算法是時間複雜度最低的演算法嗎？當然不是，最快的應該是下面的矩陣法。

（3）矩陣法

根據上面的地推公式，我們可以得到：

有了這個公式，我們只需要求得矩陣，即可得到f(n)。現在的問題轉為如何求矩陣的乘方。如果只是簡單地從0開始迴圈，n次方需要n次運算，那其時間複雜度仍然是O（n），並不比前面的方法快。但是我們可以考慮乘方的如下性質：

從上面的公式中我們可以看出，想求得n次方，就要先求n/2次方，再把n/2次方的結果平方一下即可。這可以用遞迴的思想實現。