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幾種初級排序演算法的總結

排序就是將一組物件按照某種邏輯順序重新排列的過程。

在本文中我們使用的操作：

• 遍歷陣列
• 比較兩個物件（本文中所有程式碼示例中的less方法）
• 交換兩個物件 （本文中所有程式碼示例中的exch方法）

less 和 exch方法的原始碼：

private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
   return (v.compareTo(w) < 0);
}

private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
   Comparable swap = a[i];
   a[i] = a[j];
   a[j] = swap;
} 
 

選擇排序

選擇排序的基本思路就是為每一個位置選擇對的物件：

1. 選擇第一個位置；
2. 從陣列中未被選擇的物件中選擇最小（或最大）的物件放入當前選擇的位置；
3. 選擇下一個位置，並重復2直到所有位置都有物件；

程式碼示例：

public static void sort(Comparable[] a) {
    int n = a.length;
    for (int i = 0; i < n; i++) {    //選擇位置的迴圈
        int min = i;
        for (int j = i+1; j < n; j++) {     //選擇剩餘物件中最小元素
            if (less(a[j], a[min])) 
               min = j;
        }
        exch(a, i, min);    //交換位於選中位置上的元素和應該位於該位置的元素
    }
}
 

插入排序

插入排序的基本思路是將物件移動到已經有序的陣列中適當的位置，類似打撲克牌時將新接的牌插入適當位置：

1. 選中當前陣列的第二個位置的物件；
2. 比較當前選擇的物件與位於它前面的物件，根據比較結果，如果兩者現在相對位置是不對的，則互動它們，重複2.直到當前選擇的物件前面沒有元素或者，它和前面元素的相對位置是正確的；（一步一步往前挪）
3. 選擇下一個位置的元素，並重復2直到陣列末尾；

示例程式碼：

public static void sort(Comparable[] a) {
    int n = a.length;
    for (int i = 1; i < n; i++) {     //選擇需要挪動的物件
        for (int j = i; j > 0; j--) {    //一步一步往前挪
            if(less(a[j], a[j-1]))  //如果當前元素比前一個小，則交換位置
               exch(a, j, j-1);
            else
               break;      //已經挪到了對的位置，去挪下一個
        }
    }
}
 

希爾排序

希爾排序是一種基於插入排序的快速排序演算法；對於大規模的亂序陣列，插入排序會很慢，因為它只交換相鄰的物件，元素要一點一點的往前挪；希爾排序的基本思路是分別對間隔h的元素組成的陣列進行排序，使得原陣列h有序，然後逐步減小h，如下圖：

1. 選取一個h；
2. 對間隔h的物件組成的陣列進行插入排序；
3. 減小h，重複2一直到h為1；

程式碼示例：

public static void sort(Comparable[] a) {
    int n = a.length;
    // 3x+1 increment sequence:  1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ... 
    int h = 1;
    while (h < n/3) h = 3*h + 1;     //取一個大於等於陣列長度三分之一的h
    while (h >= 1) {       
        // h-sort the array
        for (int i = h; i < n; i++) {    //使用插入排序對間隔h的物件組成的陣列進行排序
            for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j-h]); j -= h) {
                exch(a, j, j-h);
            }
        }
        h /= 3;   //按3的倍數減小h
    }
}

效能與特性

• 穩定性：選擇排序的穩定性與具體實現有關，主要是判斷大小的條件對物件相等的時候的處理，在我們的實現中它是不穩定的，因為它會互動兩個相等的物件；插入排序是穩定的，因為挪動到相等元素時會停止；而基於插入排序的希爾排序卻是不穩定的，因為分組的過程中會間接打亂相等物件的相對位置。
• 空間：這三個演算法都是直接在原陣列上進行操作，並沒有申請額外空間，且無遞迴，所以空間複雜度為O(1)。
• 時間：選擇排序的時間複雜度為O($ N^2 $)；插入排序介於O(N) 到 O($ N^2$) 之間，主要依賴於陣列的有序程度，陣列的有序程度越高，演算法的效率越好；希爾排序大概是O(NlogN) ，同樣和陣列的有序程度相關，不過通過分組使得隨機情況下演算法的效能比插入排序更好。

**一點猜想：**從選擇排序到希爾排序的效能變化，可能對應於演算法對已排序物件的資訊的利用程度的變化；比如一個數組中a、b、c是已經排好相對位置的元素，此時決定元素d的位置時，如果我們知道d>c，那麼可以推理得出d>b以及d>a，選擇排序對此類資訊利用的相對較少，而插入排序相對利用的多些。

參考資料

• 演算法（第四版）Robert Sedgewick 和 Kevin Wayne 著
• https://algs4.cs.princeton.edu/21elementary/ （文中所有程式碼來源）