1問題描述

數碼問題常被用來演示如何在狀態空間中生成動作序列。一個典型的例子是15數碼問題，它是由放在一個4×4的16宮格棋盤中的15個數碼(1-15)構成，棋盤中的一個單元是空的，它的鄰接單元中的數碼可以移到該單元中，通過這樣不斷地移動數碼來改變棋盤佈局，使棋盤從給定的初始棋局變為目標棋局(圖1)。【數字華容道】

圖1-1. 十五數碼問題

2.知識表達

    常見的知識表達有狀態空間、與/或圖、語義網、謂詞邏輯等。狀態空間是表示問題及其搜尋過程的一種方法，是人工智慧最基本的形式化方法。對於數碼問題，使用狀態空間來描述更為直觀易懂，更有助於對演算法的理解，故本文采用狀態空間來對問題進行表達。

    狀態空間的三要素：狀態、操作符、狀態空間。

(1).狀態S：十五數碼問題中，每種棋局就是一個狀態，所有棋局就是狀態集合S，其中共有16！=209227898888000個狀態。

(2).操作符F：使用最簡化4個操作：分別向上、下、左、右移動空白單元，將操作符作用到某一狀態即可從該狀態轉移到另一狀態。但值得注意的是，並不是所有狀態都可以執行這4個操作符。F = {上， 下， 左， 右}

(3).狀態空間(S, F, G)，其中狀態空間圖G的一部分如圖1-2所示。

圖1-2. 十五數碼的部分狀態空間圖

2. A*演算法

2.1演算法簡介

A*演算法是BFS的一個變種，不同於BFS的是，每次選擇節點進行生成的時候，優先選擇估價函式最小的節點，把原來的BFS演算法的無啟發式的搜尋改成了啟發式的搜尋，可以有效的減少節點的搜尋個數。其估價函式f(x)= g(x)+h(x)的設計對搜尋效率的影響是至關重要的，對於十五數碼問題的估價函式中的g(x)我們選擇從初始狀態到當前狀態x的操作符個數，即搜尋樹中x狀態的深度。對於啟發函式h(x)，本文使用了兩種方案：

(1).狀態x中“不在位”的數碼的個數，即當前狀態x與目標狀態不同元素的個數；

(2).曼哈頓距離，即當前狀態x與目標狀態不同元素之間對應橫縱座標差的絕對值之和。

2.2 演算法原理

從初始狀態S_0出發，分別採用不同的操作符作用於生成新的狀態x並將其加入open表中（對應到狀態空間圖中便是根節點生成新的子節點n） ,接著從open表中按照某種限制或策略選擇一個狀態x使操作符作用於x又生成了新的狀態並加入open表中(狀態空間圖中相應也產生了新的子節點)，如此不斷重複直到生成目標狀態。

對於以上所述的“某種策略”，在圖搜尋過程中，若該策略是依據進行排序並選取最小的估價值，則稱該過程為A演算法。其中:

 是從初始狀態S_0經由狀態x到目標狀態S_G的代價估計

 是在狀態空間中從初始狀S_0態到狀態x的實際代價

 是從狀態x到目標狀態S_G的最佳路徑的代價

A演算法中，若對所有的x存在h(x)≤,則稱h(x)為的下限，表示某種偏於保守的估計。採用的下限h(x)為啟發函式的A演算法，稱為A*演算法，其中限制：h(x)≤h*(x)十分重要，它能保證A*演算法找到最優解。在本問題中，g(x)相對容易得到，就是從初始節點到當前節點的路徑代價，即當前節點在搜尋樹中的深度。關鍵在於啟發函式h(x)的選擇，A*演算法的搜尋效率很大程度上取決於估價函式h(x)。一般而言，滿足h(x)≤h*(x)前提下，h(x)的值越大越好，說明其攜帶的啟發性資訊越多，A*演算法搜尋時擴充套件的節點就越少，搜尋效率就越高。

傳統的BFS是選取當前節點在搜尋樹中的深度作為g(x)，但沒有使用啟發函式h(x)，在找到目標狀態之前盲目搜尋，生成了過多的節點，因此搜尋效率相對較低。本文分別使用不在位的元素個數和曼哈頓距離作為啟發函式h(x)。每次從open表中選取時，優先選取估價函式最小的狀態來擴充套件。

2.3 演算法流程

本演算法只考慮找到一條最優解即可，不需要找到所有可行解。

初始化兩個表為空：open表和close表

1). 將初始節點加入open表(其父節點指標為null)

2). 若open表為空，則問題無解，退出。

3). 在open表中取出f(x)最小的節點作為當前節點x，並放入close表中；

4). 判斷節點x是否為目標節點：若是，則找到問題的解，退出。

5). 若節點x不可擴充套件，則轉到第2)步；

6). 擴充套件節點x(分別按照上、下、左、右方向移動空格並且操作起作用)得到多個子節點，計算它們的估價值並配置其父節點指標指向x，挨個判斷每個子節點是否已經在open表中：

如果open表已有該子節點，比較二者的估價函式f(x)值，如果先前的f(x)大於現在新生成的子節點，則更新其為新生成的子節點，否則放棄加入，考察下一個子節點；（事實上，它們的h(x)是相同的，先出現的節點其g(x)不會大於後生成的，所以此步是沒有必要的）

如果open表中沒有該子節點且close表中也沒有，則將該子節點加入open表中。

轉到第2)步（對於open表沒有該子節點但close表中有的情況不予處理，因為如果close表中節點的f(x)小於現在新生成的子節點，那麼前者的子節點的估價函式也會小於後者子節點的估價函式，相應地也先被擴充套件，最終也會最先找到最優解，因為本文的目標是找到一條最佳路徑即可）。

【一個思考：open表是不是可以考慮用set而不是用list，因為對於先加入open set的節點，其f(x)必然不會大於後加入的節點，所以後生成的節點在加入open set的時候，直接被拒絕就可以了】

【不清楚對不對，可以先看下這篇文章】