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　　在應用機器學習演算法時，我們通常採用梯度下降法來對採用的演算法進行訓練。其實，常用的梯度下降法還具體包含有三種不同的形式，它們也各自有著不同的優缺點。

　　下面我們以線性迴歸演算法來對三種梯度下降法進行比較。

　　一般線性迴歸函式的假設函式為：

h θ =∑ n j=0 θ j x j  hθ=∑j=0nθjxj

　　對應的能量函式（損失函式）形式為：

J train (θ)=1/(2m)∑ m i=1 (h θ (x (i) )−y (i) ) 2  Jtrain(θ)=1/(2m)∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

　　下圖為一個二維引數（θ 0  θ0 和θ 1  θ1 ）組對應能量函式的視覺化圖：

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1. 批量梯度下降法BGD

 　　批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，簡稱BGD）是梯度下降法最原始的形式，它的具體思路是在更新每一引數時都使用所有的樣本來進行更新，其數學形式如下：

　　(1) 對上述的能量函式求偏導：

　　(2) 由於是最小化風險函式，所以按照每個引數θ θ 的梯度負方向來更新每個θ θ ：

　　具體的虛擬碼形式為：

　　repeat{　　　　

　　　　　　　　（for every j=0, ... , n）

　　}

　　從上面公式可以注意到，它得到的是一個全域性最優解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的資料，如果樣本數目m m 很大，那麼可想而知這種方法的迭代速度！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。

　　優點：全域性最優解；易於並行實現；

　　缺點：當樣本數目很多時，訓練過程會很慢。

　　從迭代的次數上來看，BGD迭代的次數相對較少。其迭代的收斂曲線示意圖可以表示如下：

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2. 隨機梯度下降法SGD

　　由於批量梯度下降法在更新每一個引數時，都需要所有的訓練樣本，所以訓練過程會隨著樣本數量的加大而變得異常的緩慢。隨機梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，簡稱SGD）正是為了解決批量梯度下降法這一弊端而提出的。

　　將上面的能量函式寫為如下形式：

　　利用每個樣本的損失函式對θ θ 求偏導得到對應的梯度，來更新θ θ ：

　　具體的虛擬碼形式為：

　　1. Randomly shuffle dataset；

　　2. repeat{

　　　　for i=1, ... , m m {

 　　　　　　(for j=0, ... , n n )

　　　　}

　　}

　　隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那麼可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經將theta迭代到最優解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD並不是每次迭代都向著整體最優化方向。

　　優點：訓練速度快；

　　缺點：準確度下降，並不是全域性最優；不易於並行實現。

　　從迭代的次數上來看，SGD迭代的次數較多，在解空間的搜尋過程看起來很盲目。其迭代的收斂曲線示意圖可以表示如下：

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3. 小批量梯度下降法MBGD

　　有上述的兩種梯度下降法可以看出，其各自均有優缺點，那麼能不能在兩種方法的效能之間取得一個折衷呢？即，演算法的訓練過程比較快，而且也要保證最終引數訓練的準確率，而這正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，簡稱MBGD）的初衷。

　　MBGD在每次更新引數時使用b個樣本（b一般為10），其具體的虛擬碼形式為：

　　Say b=10, m=1000.

　　Repeat{

　　　　for i=1, 11, 21, 31, ... , 991{

　　　　(for every j=0, ... , n n )

　　　　}

　　}

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4. 總結

　　Batch gradient descent: Use all examples in each iteration；

　　Stochastic gradient descent: Use 1 example in each iteration；

　　Mini-batch gradient descent: Use b examples in each iteration.