參考文章：Introduction to Spectral Graph Theory and Graph Clustering 作者：Chengming Jiang，ECS 231 Spring 2016 University of California, Davis 本文的目的是進行計算機影象分割： 圖1 影象分割

一、預備知識

關於圖（G）、度矩陣（D）、鄰接矩陣（A）皆在上一篇理解中交代過，現補充一些新的定義： 1、權重矩陣 A weighted graph is a pair G=(V,W) where

• $V=\{v_i\}$ is a set of vertices and $\mathrm{\mid }$
  V∣=n\vert V\vert=n;
• $W\in \mathbb R^{n\times n}$ is called weight matrix with $w_{ij}=\begin{cases} w_{ij}\ge 0 & \text{if $i\neq j$}\\ 0 & \text{i=j}\end{cases}$ W是權重矩陣，V是頂點，它們構成對G=(V,W)，即是權重圖G。 The underlying graph of G is $\widehat{G}=($
  V,E)\hat G=(V,E) with $E=\{\{v_i,v_j\}\vert w_{ij}\gt 0\}$
• If $w_{ij}\in\{0,1\},W=A$, the adjacency matrix of $\hat G$
• Since $w_{ii}=0$, there is no self-loops in $\hat G$ W是對A的一個擴充套件，當$w_{ij}\in\{0,1\}$，W即是A。定義W後，需要重新定義頂點的度（degree of a vertex）和度矩陣（degree matrix）： $d$
  (vi)=∑j=1nwijdegree of vid(v_i)=\sum_{j=1}^n w_{ij} \qquad \text{degree of $v_i$} $\text{Let $d(v_i)=d_i$} \\D=D(G)=diag(d(v_1),\cdots,d(v_n))=diag(d_1,\cdots,d_n)$ 2、A的體積（Volume） 對於V的一個子集A（$A\subseteq V$），定義A的體積（Volume）： $vol(A)=\sum_{v_i \in A}d(v_i)=\sum_{v_i\in A}\sum_{j=1}^n w_{ij}$ 即A中所有頂點的度和，若A中所有頂點都是孤立的（isolated），則vol(A)=0，舉例如下： 圖2 vol(A)的計算方法 3、頂點集間的連線（links） Given two subsets of vertices $A,B\subseteq V$, we define the links $links(A,B)$ by $links(A,B)=\sum_{v_i\in A, v_j \in B} w_{ij}$ Remarks:
  • A and B are not necessarily distinct;
  • Since W is symmetric, $links(A,B)=links(B,A)$
  • $vol(A)=links(A,V)$ 有了連線（links）定義，就可以定義分割（cut），它的定義如下： $cut(A)=links(A,V-A)$ 在連線（links）基礎上，還可以定義一個量assoc，如下： $assoc(A)=links(A,A)$ 即A中頂點自己的連線。cut是A和外部的links，assoc是A與內部的links。因此有：$cut(A)+assoc(A)=vol(A)$ 4、Graph Laplacian 對於權重圖 G=(V,W)，the (graph) Laplacian L of G is defined by $L=D-W$ Laplacian具有以下的屬性：
  • $x^TLx=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n w_{ij}(x_i-x_j)^2$ for $\forall x\in \mathbb R^n$，這是一個二次型
  • $L\ge 0$ if $w_{ij}\ge 0$ for all i,j;
  • $L\cdot \mathbf 1=\mathbf 0$
  • If the underlying graph of G is connected, then $0=\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3\cdots \le\lambda_n$
  • If the underlying graph of G is connected, then the dimension of the nullspace of L is 1.

圖的聚類（Graph clustering）

1、k-way partitioning 給定一個權重圖 G=(V,W)，要找到一個對V的分割，使以下條件得到滿足：

• $A_1\cup A_2 \cdots\cup A_k=V$
• $A_1\cap A_2 \cdots\cap A_k=\emptyset$
• for any i and j, the edges between $(A_i,A_j)$ have low weight and the edges within $A_i$ have high weight. 要使分割後各子集之間的edges的權重最小，對於2-way分割有： $cut(A)=links(A,\bar A)=\sum_{v_i\in A,v_j\in \bar A}w_{ij}$, where
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