《凸優化》7 學習筆記

阿新 • • 發佈：2018-12-11

學習了一下中科大凌青老師的凸優化視訊.做一點筆記.

例：線性矩陣不等式LMI.

A (X) = \sum_{i = 1}^{k} X_{i} A_{i} ⪯ B,

$A(X)=\sum_{i=1}^{k}{X_iA_i}\preceq B,$ 其中，對所有的

i \in [1, k]

$i\in {[1,k]}$ 有

B, A_{i}, X_{i} \in

Sm" role="presentation">

B, A_{i}, X_{i} \in S^{m}

$B,A_i,X_i\in S^m$ .

S^{m}

$S^m$ 指的是一切長寬都為

m

$m$ 的對稱矩陣的集合.
且

A (X) ⪯ B

$A(X)\preceq B$ 意味著

B - A (X) ⪰ 0

$B-A(X)\succeq 0$ ,就是說

B - A (X)

$B-A(X)$ 是個半正定矩陣.

求證: $\{X|A(X)\preceq B\}$ 是凸集.
為了證明這個性質，我們需要先證明：1.對凸集進行仿射變換（就是線性變換），得到集合的仍然是凸集。2.所有半正定矩陣的集合 $S^m_+$ 是個凸集.
這兩個證明比較簡單，這裡不說了。

先說明一下函式的”廣播”. 有一個簡單的函式: $g(x)=x^2$ . 設 $C$ 是一個集合. 約定: $g(C)=\{g(x)|x\in C\}$ .

接下來開始證明.
定義仿射變換 $f(x)=B-A(X)$ .

\begin{aligned} (使用 f) & f ({X | B - A (X) ⪰ 0}) & = f (X | f (X) ⪰ 0) \\ (广播) & = {f (P) | P \in {X | f (X) ⪰ 0}} \\ (消解) & = {f (P) | f (P) ⪰ 0} \\ (消解) & = {X | X ⪰ 0} \\ (332) & = S_{+}^{m} \end{aligned}

$\begin{align} f(\{X|B-A(X)\succeq 0\})&=f({X|f(X)\succeq 0}) \tag{使用$f$} \\ &=\{f(P)|P\in\{X|f(X)\succeq 0\}\} \tag{廣播}\\ &=\{f(P)|f(P)\succeq 0\} \tag{消解}\\ &=\{X|X\succeq 0\}\tag{消解}\\ &=S^m_+ \end{align}$

那麼， $f$ 的逆變換 $f^{-1}$ 就滿足:

\begin{aligned} (333) & f^{- 1} (S_{+}^{m}) = {X | B - A (X) ⪰ 0} . \end{aligned}

$\begin{align} f^{-1}(S^m_+)=\{X|B-A(X)\succeq 0\}. \end{align}$
因為

f

$f$ 是個仿射變換,

f^{- 1}

$f^{-1}$ 也應是個仿射變換.對凸集

S_{+}^{m}

$S^m_+$ 進行的仿射變換得到了

{X | B - A (X) ⪰ 0}

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