機器人理論（4）逆向運動學：已知物體位置反推關軸角度
引言
我們已經知道如何已知角度去推算機械臂末端的位置，那麼如何由位置反推出機械臂到達需求位需要的角度呢？
逆向運動學
基本過程就是已知手臂末端點的位置{H}（機器手head）或者該座標系相對於世界座標系{W}的向量，求出關軸的角度。根據題目題目難度，有時候可以直接求解出角度
，有時候需要藉助
矩陣算出角度
。
其中求解方法大致分為如下幾種方法：解析法（幾何法、代數法等）和數值法。
目錄
幾何法
顧名思義，直接利用幾何關係和定理求解即可。在這裡直接引出經典的PUMA機械臂案例。
【舉例】已知、
、
，如何求
、
、
。(
、
為座標點、
=
+
【求解過程】
上圖表明瞭 取決於
的正負。當
<0時，
屬於綠色三角形。當
>0時，
屬於藍色三角形。
得到如圖關係式後，就可以開始代入求解了。
代數法
【例題】和上面例題一樣
【求解過程】
代數，並使用極座標知識，可以得出：（小聲bb:現在才知道高中數學的重要性....）
數值法
列出每個關節的T矩陣，讓電腦自己往裡面帶入資料，數字一個一個跑，直到求出解為止。
反算出的方法不止一種。由於數值法對電腦算力有要求，解析法（幾何法、代數法）因為不需要舉出大量數字讓計算機去逼近求解，而且求逆矩陣快，所以大部分情況下使用的是解析法求解。然而想要讓機械臂能夠使用解析法求解，機械臂的設計就要滿足一個條件——存在相鄰的三軸相交於同一點，這個也稱為 Pieper's Solution
相關例子
使用經典的符合Pieper條件的PUMA手臂作為例題 ，有=
。
由於前三軸是負責移動的，後三軸負責轉動的，為了方便分兩步走。
（1）求解 、
、
（代數法）
由之前講過的T矩陣的特性，可以得出這個：
使用代數法運算，為了方便求解，我們先定義好代數式 f, g
可以知道f 是有關 的函式，g為有關
、
的函式，展開有：
在這裡先假設代數 K：
然後加入並定義代數 r，就有：
可以知道r是有關、
的函式。
由於高度Z本身和有關，所以它也是一個有關
、
的函式。
到這一步我們已經得到兩個不用考慮，且與
、
有關的函數了，聯立起來，有：
即可聯絡已知求解，然後再依次求解出
、
。
（2）求解 、
、
由上式已知我們的、
、
，並且我們的4，5，6關節都符合pieper條件，就可以直接通過下式算出答案：
【這裡的求解過程參考（2）】
綜合例題
【解題過程】
Tips:從多個解中選擇的方法
上傳圖片時瀏覽器突然卡機，發現草稿箱裡沒有儲存，全部都要重寫。煩躁。