面試中，除了TopK，是否被問過：求一個正整數的二進位制表示包含多少個1？

例如：

uint32_t i=58585858;

i的二進位制表示是：

0000 0011 0111 1101 1111 0011 0000 0010

於是，i的二進位制表示包含15個1。 到底有幾種方法，這些思路里蘊含的優化思路究竟是怎麼樣的，今天和大家聊一聊。

一、位移法

思路：既然輸入n是uint32，每次取n的最低位，判斷是不是1，位移32次，迴圈判斷即可。 虛擬碼：

do{

    if ((n&1)==1){

       result++;

    }

    n>>= 1;

    i++;

} while
 
(i<32);

分析：不管n的二進位制表示裡包含多少個1，都需要迴圈計算32次，比較耗時。有沒有可能，每次消除掉一個1，這樣來降低計算次數呢？

二、求與法

觀察一下n與n-1這兩個數的二進位制表示：

• 最末位一個1會變成0

• 最末位一個1之後的0會全部變成1

• 其他位相同

栗子：

         x = 1011 0000

        x-1= 1010 1111

 x & (x-1) = 1010 0000

於是， n&(n-1) 這個操作，可以起到“消除最後一個1”的功效。

思路：逐步通過n&(n-1)，來消除n末尾的1，消除了多少次，就有多少個1。 虛擬碼：

while
 
(n){

   result++;

   n&=(n-1);

}

分析：這個方法，n的二進位制表示有多少個1，就會計算多少次。總的來說，n的長度是32bit，如果n的值選取完全隨機，平均期望由16個1構成，平均下來16次，節省一半的計算量。

畫外音：校招時，我問過這樣的面試題，“如何快速判斷一個正整數是不是2的x次冪”，巧妙解法是 return !(n&(n-1)); 即，如果n是2的x次冪，二進位制表示只有一個1。

三、查表法

空間換時間，是演算法優化中最常見的手段，如果有相對充裕的記憶體，可以有更快的演算法。 思路：一個uint32的正整數n，一旦n的值確定，n的二進位制表示中包含多少個1也就確定了，理論上無需重新計算：

1的二進位制表示中包含1個1

2的二進位制表示中包含1個1

3的二進位制表示中包含2個1

…

58585858的二進位制表示中包含15個1

…

提前計算好結果陣列：

result[1]=1;

result[2]=1;

result[3]=2;

…

result[58585858]=15;

…

虛擬碼：

return result[n];

查表法的好處是，時間複雜度為O(1)，潛在的問題是，需要很大的記憶體。

記憶體分析：

假如被分析的整數是uint32，打表陣列需要記錄2^32個正整數的結果。

n的二進位制表示最多包含32個1，儲存結果的計數，使用5個bit即可。

故，共需要記憶體2^32 * 5bit = 2.5GB。

畫外音：5個bit，能表示00000-11111這32個數。幫忙看下，算錯了沒有，上一篇文章bit和Byte算錯了8倍。

四、二次查表法

查表法，非常快，只查詢一次，但消耗記憶體太大，在工程中幾乎不被使用。

演算法設計，本身是一個時間複雜度與空間複雜度的折衷，增加計算次數，往往能夠減少儲存空間。

思路：

（1）把uint32的正整數n，分解為低16位正整數n1，和高16正整數n2；

（2）n1查一次表，其二進位制表示包含a個1；

（3）n2查一次表，其二進位制表示包含b個1；

（4）則，n的二進位制表示包含a+b個1；

虛擬碼：

uint16 n1 = n & 0xFFFF;

uint16 n2 = (n>>16) & 0xFFFF;

return  result[n1]+result[n2];

問題來了：增加了一倍的計算量（1次查表變2次查表），記憶體空間是不是對應減少一半呢？

記憶體分析：

被分析的整數變成uint16，打表陣列需要記錄2^16個正整數的結果。

n1和n2的二進位制表示最多包含16個1，儲存結果的計數，使用4個bit即可。

故，共需要記憶體2^16 * 4bit = 32KB。

畫外音：幫忙看下，算錯了沒有。

好神奇！！！

計算量多了1次（1倍），記憶體佔用量卻由2.5G降到了32K（1萬多倍），是不是很有意思？

五、總結

數1，不難；但其思路有優化過程，並不簡單：

（1）位移法，32次計算；

（2）n&(n-1)，能消除一個1，平均16次計算；

（3）查表法，1次查表，2.5G記憶體；

（4）二次查表法，2次查表，32K記憶體；

知其然，知其所以然。

思路比結論重要。

希望大家對“數1”有新的認識，謝轉。