一、群環域

1.群

群G，記作{G，•}，定義一個二元運算•的集合，G中每一個序偶（a，b）通過運算生成G中的元素（a•b），滿足以下公理：

• 封閉性：如果a，b都屬於G，則a•b也屬於G
• 結合律：對於任意的a，b，c，都有a•(b•c)=(a•b)•c成立
• 單位元：G中存在一個元素e，對於G中任意元素a都有a•e = e•a = a
• 逆元：對於G中任意元素a，都存在a'∈G，使得a•a‘ = e

有限群：如果一個群中的元素是有限的則稱該群為有限群，元素的個數即為該群的階數

無限群：如果一個群中的元素個數是無限的，則稱該群為無限群

交換群（阿貝爾群）: 如果對於群中的任意兩個元素a，b都有a•b = b•a，則該群為交換群

迴圈群：如果群中的每一個元素都是一個固定元素a的冪a^n，n為整數，則稱G為迴圈群，a是qunG的生成元

2.環

環R，記作{R，+，x}，是具有加法和乘法兩個二元運算的元素的集合，對於環中所有的a，b，c，都滿足以下公理：

• 對於加法滿足群的所有性質，且單位元是0，a的逆是-a
• 乘法封閉性：若a，b均屬於R，則ab屬於R
• 乘法結合律：對於R中任意的a，b，c，均滿足a（bc） = （ab）c
• 分配律：a（b+c） = ab+ac,或者 (a+b)c = ac+bc

又有

• 乘法交換律：ab=ba,滿足乘法交換律的環是交換環
• 單位元：R中存在元素1使得a1=1a=a
• 無零因子：若R中有ab=0，則a=0或b=0

滿足單位元和無零因子的交換環是整環

3.域

域F，記作{F，+，x}是具有加法和乘法兩個二元運算的集合，對於F中所有的a，b，c均有

• 滿足環的所有條件，即F是個整環
• 乘法逆元：對於F中任意元素a除0外，均有一個∈F使得a=a=1
• 域就是一個集合，定義減法為a-b=a+b'即a+（-b），定義除法為b/a=bx，在域上進行加減乘除運算結果都不脫離該集合

有理數集合，實數集合和複數集合都是域，整數集合不是域

4.群環域的關係

二、同餘

如果a能整除b，則稱b是a的一個因子，記作b|a，有如下性質

• 如果a|1，則a=±1
• 如果a|b且b|a，則a=±b
• 任何b≠0，b都能整除0
• 如果b|g，b|h，則對任意整數m，n都有b|（mg+nh）
• 如果a≡0mod n，則n|a

給定整數a，b及n≠0，當且僅當a-b=kn時，a與b在模n時同餘，記作a≡b mod n 或者a≡ 

如果n|(a-b), 則a≡b mod n ,證明：

• 如果n|(a-b),則有a-b=kn
• 則a=b+kn
• a mod n = (b+kn)mod n
• a mod n = b mod n

a≡b mod n 且b≡c mod n 則a≡c mod n

模算數運算

• 反身性：a=a mod n
• 對稱性：若a=b mod n，則b=a mod n
• 傳遞性: 若a=b mod n 且b=c mod n，則a=c mod n
• 如果 a=b mod n且 c=d mod n，則

1. a+c=(b+d) mod n
2. a-c=(b-d) mod n
3. a•c=(b•d) mod n

(a1 op a2) mod n =[(a1 mod n )] op (a2 mod n)] mod n，即

• (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
• (a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n
• (a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n

三、歐幾里得演算法Euclid Algorithm

對於任何非負的整數a和n，gcd(a, n)=gcd(n mod a, a)

假設我們有整數a,b使得d=gcd(a,b)。假設a≥b>0，現在用b

除a，由除法可得到

a=q1b+r1    0≤r1<b

如果恰巧r1=0，則b|a且d=gcd(a,b)=b。但是如果r1≠0,我們

說d|r1。這基於除法的基本性質：由d|a和d|b可以推出d|(a-

q1b)，即d|r1。現在假設有任意的整數c整除b和r1.因此

c|(q1b+r1)=a。因此c同時整除a和b，必須有c≤d，而d是a和

b的最大公因子。因此d=gcd(b,r1)

拓展的歐幾里得演算法

對於給定的整數a和b，擴充套件的Euclid演算法不僅計算出最大公因子d，而且還有另外的整數x和y，它們滿足如下方程：

ax+by=d=gcd(a,b)

 用擴充套件的Euclid演算法計算(x,y,d).

假設在每一步驟i都可以找到xi和yi滿足ri=axi+byi 

四、有限域

有限域在密碼學中扮演重要角色

有限域的階（元素個數），必須是一個素數的冪,記作GF（）

階為p的有限域GF（p）

 給定a∈[0, n-1], gcd (a, n)=1，若能找到唯一整數x∈[0,n-1]，滿足：ax mod n=1, 則稱a和x互逆

• 給定一個素數p，元素個數為p的有限域GF(p)被定義為整數{0,1, … , p-1}的集合Zp，其運算為模p的算術運算
• Zn中的任一整數有乘法逆元當且僅當該整數與n互素，若n為素數， Zn中的所有非零整數都與n互素，因此Zn中所有非零整數都有乘法逆元
• 對每一個w∈Zp，存在一個z，使得w×z≡1 mod p，則z即為乘法逆元
• 因為w與p互素，如果用w乘以Zp中的所有數模p，得到的餘數將以不同次序涵蓋Zp中的所有數，即餘數集合是{0,1, … , p-1}的置換形，那麼至少有一個餘數的值為1。因此，在Zp中的某個數與w相乘模p的餘數為1, 這個數就是w的乘法逆元，。 所以，Zp是一個有限域

  如 n=10, a=3, x=7, ax mod n=1 =3x7 mod 10

如果gcd (a, n)=1, 則對於每個i, j, 0≤i<j<n,

  ai mod n≠aj mod n

如果存在gcd（a，n）=1 ，則一定存在整數x在0到n之間滿足ax mod n = 1

拓展的歐幾里得演算法求逆

如果a，b互素，則b有模a的乘法逆元，也就是說，如果gcd（a，b）=1，對於正整數b<a，存在<a,使得b =1 mod a，如果a 是素數並且b < a，則顯然a,b互素，且最大公因子為1

ax+by=d=gcd(a, b)

如果gcd(a, b)=1,則有ax+by=1.

[(ax mod a)+(by mod a)]mod a = 1 mod a

0+(by mod a)=1

如果by mod a=1，則y=

五、多項式計算

三種多項式計算

• 使用代數基本規則的普通多項式運算
• 係數運算是模p運算的多項式運算，即係數在GF(p)中
• 係數在GF(p)中，且多項式被定義為模一個n次多項式m(x)的多項式運算

在此我們只關心第三種

多項式可以寫成如下形式

f(x) = q(x) g(x) + r(x)

其中，r(x)就可被看作是餘數r(x) = f(x) mod g(x)

• 如果沒有餘數，就稱g(x)可以整除f(x)
• 如果g(x)除了1和它自身以外沒有其他公因式，就稱它是不可約多項式或素多項式irreducible or prime