表示式上的動態規劃 最優矩陣鏈乘

給出n個矩陣組成的序列，設計一種方法把它們依次乘起來，使得總的運算量儘量小。假設第i個矩陣Ai 是Pi-1 X Pi的。

• 用狀態f(i,j)表示i到j矩陣間的運算量，狀態轉移方程：

f(i, j) = min { f(i, k) + f(k+1, j) + P(i-1)P(k)P(j) }, i <= k < j 

凸邊多邊形上的動態規劃最優三角剖分

對於一個n個頂點的凸邊多邊形，有很多種方法可以對它進行三角剖分，即用n-3條互不相交的對角線把凸邊多邊形分成n-2個三角形。為每個三角形規定一個權函式f(i,j,k) （如三角形的周長或三個頂點的權和），求讓所有三角形權和最大的方案

• 定義f(i,j) 為“從頂點i到頂點j所構成的子多邊形的最大三角剖分權和”，則邊PiPj在此多邊形內一定恰好屬於一個三角形 iPjPk，只要列舉k的位置，就能把多邊形分割成兩部分。注意到兩個多邊形的頂點序列仍是連續的，因此有狀態轉移方程：

  f(i, j) = max { f(i, k) + f(k, j) + w( i, j, k) }

先了解下矩陣鏈乘：點選這裡

最優三角剖分推薦網址：點選這裡樹上的動態規劃樹的最大獨立集

對於一棵n個節點的無根樹，選出儘量多的節點，使得任何兩個節點均不相鄰（稱為最大獨立集），然後輸入n-1條無向邊，輸出一個最大獨立集（如果有多解，則任意輸出一組）。

分析：

用d(i)表示以i為根節點的子樹的最大獨立集大小。此時需要注意的是，本題的數是無根的：沒有所謂的“父子”關係，而只有一些無向邊。沒關係，只要任選一個根r，無根樹就變成了有根樹，上述的狀態定義也就有了意義了。

節點i只有兩種決策：選和不選。如果不選i，則問題轉化為了求出i的所有兒子的d值再相加；如果選i，則它的兒子全部不能選，問題轉化為了求出i的所有孫子的d值之和。換句話說，狀態轉移方程為：

,其中gs(i)和s(i)分別為i的孫子集合與兒子集合.

程式碼該如何寫呢？上面的方程涉及“列舉節點i的所有兒子和孫子”，頗為不便。其實可以換個角度來看：不從i找s(i)和gs(i)的元素，而從s(i)和gs(i)的元素找i。換句話說，當計算出一個d(i)後，用它去更新i的父親和祖父節點的類加值

傳統的遞推法可以表示成“對於每個狀態i，計算f(i)”,或者成為“填表法”。這需要對於每個狀態i，找到f(i)依賴的所有狀態，在某些時候並不方便。另一種方法是“對於每個狀態i，更新f（i）所影響到的狀態”，或者稱為“刷表法”，有時比填表法方便。但需要注意的是，只有當每個狀態所依賴的狀態對它的影響相互獨立時才能用刷表法。例如，在最優矩陣鏈乘問題中就無法直接使用刷表法。