本文首發於龍鵬的知乎專欄《有三AI學院》

https://zhuanlan.zhihu.com/c_151876233

今天來說說softmax loss以及它的變種

01 softmax loss

softmax loss是我們最熟悉的loss之一了，分類任務中使用它，分割任務中依然使用它。softmax loss實際上是由softmax和cross-entropy loss組合而成，兩者放一起數值計算更加穩定。這裡我們將其數學推導一起回顧一遍。

令z是softmax層的輸入，f(z)是softmax的輸出，則

單個畫素i的softmax loss等於cross-entropy error如下:

展開上式：

在caffe實現中，z即bottom blob，l(y,z)是top blob，反向傳播時，就是要根據top blob diff得到bottom blob diff,所以要得到 

下面求loss對z的第k個節點的梯度

可見，傳給groundtruth label節點和非groundtruth label節點的梯度是不一樣的。

我們看看caffe中Backward的程式碼。

Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_cpu_diff(); const Dtype* prob_data = prob_.cpu_data(); caffe_copy(prob_.count(), prob_data, bottom_diff); const Dtype* label = bottom[1]->cpu_data(); int dim = prob_.count() / outer_num_; int count = 0; for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) { for (int j = 0; j < inner_num_; ++j) { const int label_value = static_cast<int>(label[i * inner_num_ + j]); if (has_ignore_label_ && label_value == ignore_label_) { for (int c = 0; c < bottom[0]->shape(softmax_axis_); ++c) { bottom_diff[i * dim + c * inner_num_ + j] = 0; } } else { bottom_diff[i * dim + label_value * inner_num_ + j] -= 1; ++count; } } }

作為loss層，很有必要測試一下，測試分兩塊，forward和backward，我們看看caffe中的程式碼。

Test_softmax_with_loss_layer.cpp

Forward測試是這樣的，定義了個bottom blob data和bottom blob label，給data塞入高斯分佈資料，給label塞入0～4。

blob_bottom_data_(new Blob<Dtype>(10, 5, 2, 3)) blob_bottom_label_(new Blob<Dtype>(10, 1, 2, 3))

然後分別ingore其中的一個label做5次，最後比較，程式碼如下。

Dtype accum_loss = 0; for (int label = 0; label < 5; ++label) { layer_param.mutable_loss_param()->set_ignore_label(label); layer.reset(new SoftmaxWithLossLayer<Dtype>(layer_param)); layer->SetUp(this->blob_bottom_vec_, this->blob_top_vec_); layer->Forward(this->blob_bottom_vec_, this->blob_top_vec_); accum_loss += this->blob_top_loss_->cpu_data()[0]; } // Check that each label was included all but once. EXPECT_NEAR(4 * full_loss, accum_loss, 1e-4);

至於backwards，直接套用checker.CheckGradientExhaustive就行，它自己會利用數值微分的方法和你寫的backwards來比較精度。

TYPED_TEST(SoftmaxWithLossLayerTest, TestGradientIgnoreLabel) { typedef typename TypeParam::Dtype Dtype; LayerParameter layer_param; // labels are in {0, ..., 4}, so we'll ignore about a fifth of them layer_param.mutable_loss_param()->set_ignore_label(0); SoftmaxWithLossLayer<Dtype> layer(layer_param); GradientChecker<Dtype> checker(1e-2, 1e-2, 1701); checker.CheckGradientExhaustive(&layer, this->blob_bottom_vec_, this->blob_top_vec_, 0); }

原始的softmax loss非常優雅，簡潔，被廣泛用於分類問題。它的特點就是優化類間的距離非常棒，但是優化類內距離時比較弱。

鑑於此，就有了很多對softmax loss的改進，下面一一道來。

02 weighted softmax loss【1】

這第一個改進就是weighted，怎麼說？假如我們是一個分類問題，只有兩類，但是兩類的樣本數目差距非常之大。比如邊緣檢測問題，這個時候，明顯邊緣畫素的重要性是比非邊緣畫素大的，此時可以針對性的對樣本進行加權。

wc就是這個權重，像剛才所說，c=0代表邊緣畫素，c=1代表非邊緣畫素，則我們可以令w0=1，w1=0.001，即加大邊緣畫素的權重。

當然，這個權重，我們還可以動態地計算讓其自適應。

具體的反向公式推導，就跟上面差不多不再贅述，詳細的實現我會在git中給出程式碼。【1】中用了weighted sigmoid_cross_entropy_loss，原理類似。

固定權重的fixed softmax loss和自適應權重的adapted softmax loss大家可以去git中自行檢視。

03 soft softmax loss【2】

首先我們看下面的式子。

當T=1時，就是softmax的定義，當T>1，就稱之為soft softmax，T越大，因為Zk產生的概率差異就會越小。文【2】中提出這個是為了遷移學習，生成軟標籤，然後將軟標籤和硬標籤同時用於新網路的學習。

為什麼要想到這麼用，這是因為當訓練好一個模型之後，模型為所有的誤標籤都分配了很小的概率；然而實際上對於不同的錯誤標籤，其被分配的概率仍然可能存在數個量級的懸殊差距。這個差距，在softmax中直接就被忽略了，但這其實是一部分有用的資訊。

文章的做法是先利用softmaxloss訓練獲得一個大模型，然後基於大模型的softmax輸出結果獲取每一類的概率，將這個概率，作為小模型訓練時soft target的label。

04 Large-Margin Softmax Loss【3】

這是文【3】中提出的loss，被稱為L-Softmax loss。我們先從一張圖來理解下softmax loss，這張圖顯示的是不同softmax loss和L-Softmax loss學習到的cnn特徵分佈。第一列就是softmax，第2列是L-Softmax loss在引數m取不同值時的分佈。通過視覺化特徵可知學習到的類間的特徵是比較明顯的，但是類內比較散。而large-margin softmax loss則類內更加緊湊，怎麼做到的呢？

先看一下loss的定義形式如下。

由於 zk 是全連線層的輸出，所以它可以寫成

的形式，將內積更具體的表現出來，就是

我們看二分類的情況，對於屬於第1類的樣本，我們希望

如果我們對它提出更高的要求呢？由於cos函式在0～PI區間是遞減函式，我們將要求改為

其中m>=1，

在這個條件下，原始的softmax條件仍然得到滿足。

我們看下圖，如果W1=W2，那麼滿足條件2，顯然需要θ1與θ2之間的差距變得更大，原來的softmax的decision boundary只有一個，而現在類別1和類別2的decision boundary不相同，這樣類間的距離進一步增加，類內更近緊湊。

更具體的定義如下：

L-Softmax loss中，m是一個控制距離的變數，它越大訓練會變得越困難，因為類內不可能無限緊湊。

作者的實現是通過一個LargeMargin全連線層+softmax loss來共同實現，可參考程式碼。

05 angular softmax loss【4】

也稱A-softmax loss。它就是在large margin softmax loss的基礎上添加了兩個限制條件||W||=1和b=0，使得預測僅取決於W和x之間的角度θ。

上圖分別比較了原softmax loss，原softmax loss新增||w||=1約束，以及在L-softmax loss基礎上新增||w||=1約束的結果。

為什麼要新增|w|=1的約束呢？ 作者做了兩方面的解釋，一個是softmax loss學習到的特徵，本來就依據角度有很強的區分度，另一方面，人臉是一個流形，將其特徵對映到超平面表面，也可以解釋。

06 L2-constrained softmax loss【5】

將學習的特徵x歸一化。作者觀測到好的正面的臉，特徵的L2-norm大，而特徵不明顯的臉，其對應的特徵L2-norm小，因此提出這樣的約束來增強特徵的區分度。

上面式就是將其歸一化到固定值α。實際訓練的時候都不需要修改程式碼，只需要新增L2-norm層與scale層，如下圖。

為什麼要加這個scale層？NormFace【6】中作出瞭解釋。

該文章指出了直接歸一化權重和特徵，會導致loss不能下降。因為就算是極端情況下，多類樣本，令正樣本|wx|=1取最大值，負樣本|wx|=-1取最小值，這時候分類概率也是

當類別數n=10，p=0.45；n=1000，p=0.007。當類別數增加到1000類時，正樣本最大的概率還不足0.01，而反向求導的時候，梯度=1-p，會導致一直傳回去很大的loss。

所以，有必要在後面加上scale層，作者還計算出了該值的下界，具體可自行參考。

07 additive margin softmax loss【7】

定義如下

看明白了吧，就是把L-Softmax的乘法改成了減法，同時加上了尺度因子s。作者這樣改變之後前向後向傳播變得更加簡單。其中W和f都是歸一化過的，作者在論文中將m設為0.35。

值得注意的是，normalization是收斂到好的點的保證，同時，必須加上scale層，scale的尺度在文中被固定設定為30。

那到底什麼時候需要normalization什麼時候又不需要呢？這實際上依賴於圖片的質量。

我們看一個公式如下

其中α就是向量x的模，它說明模值比較小的，會有更大的梯度反向傳播誤差係數，這實際上就相當於難樣本挖掘了。不過，也要注意那些質量非常差的，模值太小可能會造成梯度爆炸的問題。

08 argface additive angular margin【8】

定義如下：

在定義這個loss的時候，作者乾脆做了一個表把現有基於softmax loss及其改進的loss的二分類決策邊界條件都列了出來。

說累了，一句話，有效。。。。

到此可以說為了改進softmax loss用盡了手段了，至於有沒有用，具體效果大家去嘗試吧，附上未完整的GitHub連結。

https://github.com/longpeng2008/Caffe_Long

先寫到這裡，後續再充實實驗結果和更多原理。

參考文獻

【1】Xie S, Tu Z.Holistically-nested edge detection[C]//Proceedings of the IEEE international conference on computer vision. 2015: 1395-1403.

【2】Hinton G,Vinyals O, Dean J. Distilling the knowledge in a neural network[J]. arXiv preprint arXiv:1503.02531, 2015.

【3】Liu W, Wen Y,Yu Z, et al. Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural Networks[C]//ICML. 2016: 507-516.

【4】Liu W, Wen Y,Yu Z, et al. Sphereface: Deep hypersphere embedding for face recognition[C]//The IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). 2017, 1.

【5】Ranjan R, Castillo C D, Chellappa R. L2-constrained softmax loss for discriminative face verification[J]. arXiv preprint arXiv:1703.09507, 2017.

【6】Wang F, Xiang X, Cheng J, et al. NormFace: $ L_2 $ Hypersphere Embedding for Face Verification[J]. arXiv preprint arXiv:1704.06369, 2017.

【7】Wang F, Liu W,Liu H, et al. Additive Margin Softmax for Face Verification[J]. arXiv preprint arXiv:1801.05599, 2018.

【8】Deng J, Guo J, Zafeiriou S. ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face Recognition[J]. arXiv preprint arXiv:1801.07698, 2018.

同時，在我的知乎專欄也會開始同步更新這個模組，歡迎來交流

注：部分圖片來自網路

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