尤拉函式是用來求小於$n$的正整數中與n互質的數的數目，用希臘字母$φ(n)$表示。

對於常規求小於$n$的正整數中與$n$互質的數的數目，可以將小於$n$的數全部用$gcd$掃一遍，但是一次$gcd$的時間複雜度是$O(logb)$，用$gcd$求$φ$的時間複雜度便是$O(nlogb)$，而實際上我們可以實現時間複雜度$O(n)$的做法。

首先給出$φ(n)$的通項公式：

顯然，任何一個大於1的正整數n可以分解為： $n=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$

接下來我們推導一下。

第一種情況：

如果$n=1$，顯然： $φ(1)=1$ 第二種情況：

如果$n$是質數，顯然： $φ(n)=n-1$

第三種情況：

如果$n$是一個質數的某一個次方，即($p$為質數，$k$為大於等於$1$

那麼： $φ(n)=φ(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})$

例如： $φ(27)=φ(3^3)=3^3-3^2=3^3(1-\frac{1}{3})=18$

第四種情況：

如果$n$可以分解為兩個互質的整數之積，即：($p_1,p_2$為質數) $n=p_1*p_2$

則： $φ(n)=φ(p_1*p_2)=φ(p_1)*φ(p_2)$

也就是素數乘積的尤拉函式等於各個素數的尤拉函式的乘積。

最後，也就得到我們最後的終點，第五種情況：

對於任意大於$1$的正整數$n$，都可以寫成一系列質數的乘積： $n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}*...*p_q^{k_q}$

那麼根據第四種情況得到:

$φ(n)=\prod_{i=1}^qφ(p_i^{k_i})$

再根據第三種情況得到:

$φ(n)=p1^k1*p2^k2*...*pq^kq*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pq)$

顯然最後得到我們想要的結果：

$φ(n)=n*\prod_{i=1}^q(1-\frac{1}{p_i})$ 以上就是對於尤拉函式通項φ的推導，接下來讓我們看看程式碼的實現：

int euler(int n) {
	int ans=n,a=n;
	
	for(int i=2;i*i<=a;i++) if(a%i==0) {
		ans=ans/i*(i-1);
		while(a%i==0) a/=i;
	}
	
	if(a>1) ans=ans/a*(a-1);
	
	return ans;
}