這是Strang教授的第七講，上一講講了求解Ax=0，也就是求解矩陣的零空間，這節課將講解求解完整的線性方程組Ax=b，以及它解的各種可能性。

消元法求解Ax=b示例

         上一講求解了Ax=0，消元法將問題Ax=0轉換為Rx=0，R中的自由變數給出了Ax=0的特解。因為右側變數在消元前後始終為零，所以我們並沒有關注右側變數的變化，上節課中的解x是A的零空間。本節課將要考慮b不等於0的情況，和求解Ax=0不一樣，對Ax=b用消元求解，消元的物件是一個增廣矩陣[A b]，消元的結果是[R d]，問題Ax=b轉換為求解Rx=d，下面的例子介紹了消元的過程：

        有方程組，

        對於上面的方程組，它的增廣矩陣[A b]和校園過程如下：

        那麼Rx=d在什麼情況下有解呢，答案在不存在主元的行，在例子中只有第三行，第三行的方程式,只有滿足這個等式的b在本例中才有解，我們令上面通式中b=（1，5，6），那麼上面的消元結果：

可解性和解的結構

        上面的例子中介紹了消元的過程並得到了[R d]，並且給出了一個特殊的b=(1，5，6)使得方程組有解，那麼Ax=b的可解性是怎樣的呢，這裡用文字總結一下：

         Ax=b有解，當且僅當b屬於A的列空間 <=>

         如果A的各行的線性組合得到0向量，那麼b中的元素同樣的組合得到數0.

那麼，前面的例子中我們已經通過消元得到了Ax=d的簡化行階梯形式[R;d]，那麼怎樣得到Ax=d的全部解呢，或者說Ax=d的結構是怎樣的呢？Ax=d的全部解的表示式分為兩部分：

         (1). 求得一個特解:設所有的自由變數為0(當然對於實矩陣也可以設定其他任意的實數)，求特解；

         (2). 求零空間N(A):，.

          Ax=b的所有解表示式：,這就是Ax=b的解的結構，可以驗證

          (1).求特解 ，令自由變數,得到：

          通過解上面的方程組得到,所以我們求得的特解是：

        (2).求零空間，上一節已經介紹了求解零空間矩陣N的公式，直接帶入，得到：

         所以，表示式如下：

        (3). 最終的Ax=b的解，表示如下：

秩r包含解的資訊討論

        對mxn的矩陣A，它的秩r包含了解的所有資訊，除了用一堆數字表達的解。前面一節課講解了矩陣秩的概念，它表明了A的真實大小，它的值等於A的主元的數目，下面討論一下隨著r的不同取值，方程組Ax=b解的情況：

        (1). 列滿秩，r=n：

                這時候A沒有自由變數. N(A)=0,消元之後的一般表示式:

                Ax=b如果有解（取決於F和d），只有一個特解，因為N(A)=0.

        (2).行滿秩，r=m：

                這時候只有變數有n-r個.N(A)包含n-r個線性無關的向量的線性組合，消元之後的一般表示式：

                Ax=b必有多個解.

        (3).即時行滿秩，又是列滿秩，r=m=n：

                這種情況，是有n個線性無關列向量的方陣，消元之後的一般表示式：

                Ax=b有唯一解.

        (4).一般情況，既不是行滿秩也不是列滿秩，r<m,r<n,消元之後的一般表示式：

                Ax=b有0個或無窮多個解.

Ax=b解的幾何影象

        教學視訊中，教授用上面例子繪製Ax=b的幾何影象，它是一個不過平行於Ax=0 不過原點的平面，由於作圖不易，這裡用書本上另外一個例子來介紹Ax=b的集合影象，這個例子理解起來會更容易，例子：

        上面方程組的解：

        它的零空間是過原點的直線，通過零空間和上面的解的表示式，我們可以畫出Ax=b的幾何影象如下圖：

        例子中Ax=b所在的直線是Ax=0的向量子空間所構成的執行經過平移之後的直線，如果Ax=0有多個自由變數，那麼Ax=b的解將是一個不過原點的多維平面，這也證明了Ax=b的解不是，因為它不過原點。

        本節課的內容對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.4章節。