目錄

一、三分（絕大多數人第一個想到的）

1、三分座標直接求值

          2.三分比值

                 【程式碼實現】

二、模擬退火

三、暴力搜

           三分單峰函式證明

對於一章的感想：

【題目描述】

原題來自：SCOI 2010

在一個 2 維平面上有兩條傳送帶，每一條傳送帶可以看成是一條線段。兩條傳送帶分別為線段 AB 和線段 CD。lxhgww 在 AB 上的移動速度為 P ，在 CD 上的移動速度為 Q ，在平面上的移動速度 R。現在 lxhgww 想從 A 點走到 D 點，他想知道最少需要走多長時間。

【輸入格式】

輸入資料第一行是 4 個整數，表示 A 和 B 的座標，分別為 Ax​,Ay​,Bx​,By​；

第二行是 4 個整數，表示 C 和 D 的座標，分別為 Cx​,Cy​，Dx​,Dy​；

第三行是 3 個整數，分別是 P,Q,R。

【輸出格式】

輸出資料為一行，表示 lxhgww 從 A 點走到 D 點的最短時間，保留到小數點後 2 位。

【樣例輸入】

0 0 0 100
100 0 100 100
2 2 1
 

【樣例輸出】

136.60

【資料範圍與提示】

對於 100% 的資料，1≤Ax​,Ay​,Bx​,By​,Cx​,Cy​,Dx​,Dy​≤1000,1≤P,Q,R≤10。

這道題一看到顯然我是知道可以用三分的，但是發現有了三分之後就有點小難過，因為三分之後就沒有了思路，所以感謝大佬的部落格（建議先看完大佬的部落格再來細節瞭解）。

這道題有好幾個大思路，好幾個小思路

一、三分（絕大多數人第一個想到的）

1、三分座標直接求值

這是最常見的思路了，很多大佬都是用三分座標的，因為很好理解。

我們進行三分套三分，把線段三分尋找轉折點後從轉折點跑向線段

，然後再線上段上三分尋找抵達地點跑向點。（參考）【大佬程式碼】

2.三分比值

這個是我重點要講的，也是我覺得最方便最好解釋的方法。

  上網看了大佬的部落格，發現可以三分比值。具體如下：

我們現在已知線段，假設現在在上已找到一點，我們要去計算與另一條線段的距離，同時這個F點其實就是在AB上的一個轉折點，這個的座標怎麼求呢？

以為斜邊，作一個。作，此時我們可以發現，和是相似三角形（為公共角，）

所以和有一定的比值，即（AF無論如何都不應該比AB要大）

所以我們可以直接三分，然後就可以求出的座標了。通過AB來求出AF。

同樣的方法三分線段，用三分套三分（同三分座標的方法）。

我們找到的這個CD上的點就是與AB上的F點相連線的點。使得這個距離可以最短。

【程式碼實現】

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node
{
	double x,y;//x左邊和y左邊 
}a,b,c,d; double p,q,r;
double gougu(node n1,node n2)//勾股求斜邊的長度 
{
	return sqrt((n1.x-n2.x)*(n1.x-n2.x)+(n1.y-n2.y)*(n1.y-n2.y));
	//（兩個點相對應的橫左邊相減的平方+兩個點相對應的縱座標相減的平方）再開方
	//這一步不難理解主要的目的是為了求出AF的長度 
}
node find(node n1,node n2,double k)
{
	node no; no.x=(n2.x-n1.x)*k+n1.x; no.y=(n2.y-n1.y)*k+n1.y;//找出F點的左邊
	//橫左標就是AB的長度乘以比值就是AF的長度，橫座標就是加上A點的橫座標 
	//縱左標就是AB的長度乘以比值就是AF的長度，縱座標就是加上A點的縱座標
	/*
	可能會有疑問就是說，知道長度就好了為什麼還要求左邊？
	因為我們知道了座標之後，才能帶入座標求出長度啊，所以這就是為什麼我們要用
	三分比值來找出這個座標的原因 
	*/ 
	return no;
}
double checkjuli(double x,double y)
{
	node n1=find(a,b,x),n2=find(c,d,y);//定義兩點，目的是為了算出定值然後求出座標 
	return gougu(a,n1)/p+gougu(n1,n2)/r+gougu(n2,d)/q;
	//gougu(a,n1)/p 表示AB上的點到A的長度
	//gougu(n1,n2)/r 表示AB上的點到CD上的點的長度 
	//gougu(n2,d)/q 表示CD上的點到D的長度 
}
double check(double x)
{
	double l=0.0,r=1.0;
	while(r-l>=1e-7)
	{
		double mid1=l+(r-l)/3.0,mid2=r-(r-l)/3.0;
		if(checkjuli(x,mid1)>checkjuli(x,mid2)) l=mid1;
		//如果我們代入的這個點在mid1的長度>在mid2的長度說明這不是上升序列
		//說明我們找到的不是最標準的最小值的上升序列 
		else r=mid2;
	}
	return checkjuli(x,l);
}
int main()
{
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&a.x,&a.y,&b.x,&b.y);
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&c.x,&c.y,&d.x,&d.y);
	scanf("%lf%lf%lf",&p,&q,&r);
	double l=0.0,r=1.0;
	while(r-l>=1e-7)
	{
		double mid1=l+(r-l)/3.0,mid2=r-(r-l)/3.0;
		if(check(mid1)>check(mid2))l=mid1;
		//這一步就是所謂的三分套三分，因為我們是先找到一個點到CD上距離最短
		//然後再找一個點是CD到AB上最短的點
		//然後這兩個點的距離+各自到節點的距離就會使得A點到D點的距離最短 
		else r=mid2;
	}
	printf("%.2lf",check(l));//把上升序列的l再走一遍流程算出最後的長度 
	return 0;
}

這一步就是三分比值的做法，我覺得是相對來講沒有那麼複雜，也是好理解一點的，其實再轉過頭看一下，和三分座標的做法有幾分相似，共同點：通過在兩條線段上面的轉折點來找到最小值，只是方法不一樣性質是一樣的。 

二、模擬退火

不說別的，我也不會，直接看優秀部落格。

三、暴力搜

兩位小數，的確也可以暴力找。也有大佬是先暴力在AB上找點，然後再三分CD的，會慢一點，但是也可以過，而且保險很多。

三分單峰函式證明

要知道為什麼可以用三分才行。

首先，我們畫一個圖。假設上面的點為線段AB上的某一點，它到線段CD的所有路徑中，選出了a和b兩條，設a為最優解。我們可以畫出以下圖片：

而b肯定是比a要長的，所以我們可以再畫出下面這個：

我們可以看出，b路徑和a路徑唯一的區別就是在於b−a這一段和c這一段。我們不妨求出它們的時間：

     (假設我們要讓b和c同時到達CD上，線上的距離的速度是一樣的，那就只能使得再c這一段的速度快一點才有可能追上a）

一般來說，只有c這段路程是走得比b快的，即，b有可能在c超車，我們要判斷是否存在這種情況，即​，b就可以超車，反之亦然。

所以我們可以找到一條路徑，使其左邊的都為且右邊的都為​而且都成遞增或遞減。這樣就能證其為單峰函數了

對於一章的感想：

我曾經對二分三分充滿了信心，現在我對二分三分（尤其三分）充滿了絕望。實在難以想象出題人是怎麼做到把一道二分三分題變成一道數論題，而且還是一道必須要用二分三分的數論題。經過一系列的二分三分折磨，我發現：線上段上面求極值的用二分，在一個平面上面求極值的就用三分，如果是多個平面求極值的話就用三分套三分。