（填坑計劃）全排列及其各種變體——遞迴+回溯
填一下大一沒好好學習的遺留坑。
其實全排列問題是個老生常談的問題了，大一接觸到的時候就知道是用遞迴實現，但是由於沒好好學習，對其理解一直不深刻。能看出來程式碼是正確的，但是不理解為什麼，程式碼也沒辦法自己寫出來。（也是因為之前第二課堂學長給的程式碼意義不明）
在看了一名學長的部落格之後，現在回過頭來終於是弄明白了全排列的原理，所以現在寫全排列也算是清晰了很多。
首先是全排列的思路，總的來說就是遞迴+回溯的過程：
1、先確定好當前的元素，然後分析後面的元素
2、對於後面的元素，我們也是先確定好當前的元素，再分析後面的元素。很顯然這就是1的步驟，所以這就是遞迴了。
3、遞迴結束後需要回溯，由於當前元素已經確定的所有情況都已經處理完了，所以我們把當前元素的確定狀態解除。在其餘元素中選擇當前元素，上一個元素放到後面去。
這就是全排列的大體思路。在實際寫的過程中基本遇到下面兩種，一是對於字典序要求不嚴的，這裡我們的程式碼大致如下：
#include<stdio.h> #include<string.h> void f(char *a, int k) { int i; char tmp; //當一次排列的過程結束時，輸出當前字串，並且回溯 if(k == strlen(a)) { puts(a); return; } for(i = k; i < strlen(a); i++) //k是處理到第幾個字元，該字元與後面的交換 { //1.將當前元素之後的所有元素（包括其自己）交換位置 tmp = a[k]; a[k] = a[i]; a[i] = tmp; //swap(a[k],a[i]) //2.上一個元素已經確定好位置了，我們對下一位及以後的元素進行同樣處理 f(a, k+1); //3.回溯到上一輪，然後交換回到1之前的狀態，然後與1中交換的下一個元素進行交換 tmp = a[k]; a[k] = a[i]; a[i] = tmp; //swap(a[k],a[i]) } } int main() { char a[101]; scanf("%s",a); f(a, 0); return 0; }
但是這種處理方式不能處理按照字典序的排序輸出，如果我們輸入1234，會得到如下輸出：
1234
1243
1324
1342
1432
1423
2134
2143
2314
2341
2431
2413
3214
3241
3124
3142
3412
3421
4231
4213
4321
4312
4132
4123我們看到1432在1423之前，這是因為這是2與4交換位置後的情況，所以程式會先輸出1432。
如果我們要按照字典序輸出，就需要通過類似DFS的思路：
1、首先確定當前元素，然後壓入棧中。這裡我們用到的是一個類似於棧的資料結構，每次選擇好元素後將其壓入棧中。不過最後我們會遍歷陣列輸出，而且省略了出棧。嚴格說來並不完全與棧相同。同時標記該元素已經出現過。然後確定下一個元素。
2、在未出現過的元素中確定一個元素壓入棧中，這裡也是遞迴的思想。
3、回溯到1之前的情況，即釋放當前元素，將其標記未未使用過。然後從後面的元素中確定當前元素。程式碼如下：
#include<stdio.h>
#define MAX 10
char stack[MAX+1]={0}; //以字串的形式存放生成的全排列數
int used[MAX]={0};
int N;
void allrank(int m,int n); //全排列數生成函式
int main()
{
printf("Input a number N(1<=N<=10):");
scanf("%d",&N);
allrank(0,N);
return 0;
}
void allrank(int m,int n)
{
int i=0;
//n是剩餘的沒被標記（使用）的數，如果n=0，意味著數字被用完了，輸出並且回溯
if(n==0)
{
stack[N+1]='\0';
puts(stack);
return;
}
for(i=1;i<=N;i++)
{
if(used[i]==0)
{
used[i]=1; //數字i被標記為已使用
stack[m]='0'+i;
allrank(m+1,n-1); //進入了另一個函式
used[i]=0; //數字i被釋放 （回溯）
}
}
}
首先我們把1號元素確定為1，然後從234中進行全排列。
我們把2號元素設定為2，然後從34中進行全排列。
我們把3號元素設定為3，從4中進行全排列。得到1234.
然後回溯，把3號元素設定為4，得到1243。
再回溯，就需要把2號元素改為3，然後對24全排列……
最終得到這樣的
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321結果，這正是我們想要的字典序。因為每次確定元素時，我們總是最小的元素優先安排上這個位置，把所有排列完成後，然後再把後面的元素安排上這個位置。
總的來說，這就是遞迴+回溯的全過程。
如果你已經理解了，那麼來看看其他的全排列吧。
重複數全排列
【問題描述】
輸入一個字串，字串由字母、數字組成，可能包含重複的字元。生成這些字元的不重複的全排列，並將結果列印到標準輸出上。
【輸入形式】
從標準輸入上讀入一個由字母、數字組成的字串，字串的長度小於100，其中包含重複的字元。
【輸出形式】
向標準輸出印結果。 每個排列佔1行，各字元之間無空格分隔，每行由換行符結束。各行之間不必排序，但同一個排列不得重複輸出。
【輸入樣例】
AABB
【輸出樣例】
AABB
ABAB
ABBA
BABA
BAAB
BBAA
【時間限制】
20s
【空間限制】
65536KB這題對於排列順序沒有要求，而且是對於字串的排列，所以是使用第一種的思路。然而出現了重複數，所以大致思路是有的情況下不能繼續遞迴呼叫了。
我一開始的思路是每次實現一個排列後記錄下來。之後如果一次交換後出現了已出現過的序列，那麼就不必再遞迴，直接跳過這次交換。然而20s的執行時間還是超時了= =所以去網上搜了思路
我的思路之所以超時，還是因為僅僅做到排除相同情況的序列，而不是想辦法規避。我們分析如下一種情況，當前序列為
AB132768B90。當A首先與第一個B交換時，我們得到序列BA132768B90。然後我們對於後面的部分A132768B90進行全排列。當回溯後繼續交換，如果A與第二個B交換，會得到BB132768A90，而後面的序列全排列之後與A132768B90的全排列完全相同。所以這次交換完全可以跳過。
也就是說，在判斷時，如果一個字元在之前出現過，就不需要進行這次交換，更不需要遞迴呼叫了。用程式語言描述：第i個字元與第j個字元交換時，如果[i,j)中沒有與第j個數相等的字元則需要交換，如果有則不需要交換。
程式碼如下，我們使用isSwap來判斷是否需要交換：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
#define MAXNUM 101
void fullsort(char s[], int k);
bool isSwap(char s[], int begin, int end);
int main()
{
char s[MAXNUM];
scanf("%s", s);
fullsort(s, 0);
return 0;
}
void fullsort(char s[], int k)
{
int i, temp;
if (k == strlen(s))
{
puts(s);
return;
}
for (i = k; i < strlen(s); i++)
{
if(isSwap(s, k, i))
{
temp = s[k]; s[k] = s[i]; s[i] = temp;
fullsort(s, k + 1);
temp = s[k]; s[k] = s[i]; s[i] = temp;
}
}
}
bool isSwap(char s[], int begin, int end)
{
int i;
for(i = begin; i < end; i++)
if(s[i] == s[end])
return false;
return true;
}
這個思路是在交換前就判斷需不需要交換，因此避免了多餘的遞迴與回溯，大大節省了執行時間。經檢驗執行時間都沒有超過1s的。（為什麼我想不出來這麼好的方法呢）
選排列
【問題描述】
求從n個自然數(1-n)中選取m個數的所有的排列形式，即求P（n，m）的所有的排列形式，且按升序排列。
【輸入形式】
標準輸入。輸入只有一行，包括兩個整數n和m，其中0<n,m<=9，二者之間以一個空白符分隔。
【輸出形式】
在標準輸出上輸出有若干行，每一行都是符合題意的一種排列形式，每個元素間用一個空格分隔，並按升序排列。
【輸入樣例】
3 2
【輸出樣例】
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
【時間限制】
2s
【空間限制】
65536KB全排列的變體。（不如說全排列是選排列的特殊情況）
不難，也是DFS，全排列是全部使用（即棧中元素到達n個）才輸出，而選排列則是棧中元素到了m個就需要輸出並回溯了。
#include<stdio.h>
#define MAXNUM 10
int used[MAXNUM] = { 0 };
int stack[MAXNUM];
int m, n;
void permutation(int a);
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
permutation(0);
return 0;
}
void permutation(int a)
{
int i;
if (a == m)
{
for (i = 0; i < m; i++)
printf("%d ", stack[i]);
printf("\n");
return;
}
for (i = 1; i <= n; i++)
{
if (used[i] == 0)
{
stack[a] = i;
used[i] = 1;
permutation(a + 1);
used[i] = 0;
}
}
}
程式碼裡的a記錄的基本就是棧中元素的個數。
組合
【問題描述】
求n個自然數(1-n)的所有m-組合，即C（n，m）的所有不可重複的組合形式。
【輸入形式】
標準輸入。輸入只有一行，包括兩個整數n和m，其中0<n<=20，0<m<=n，二者之間以一個空白符分隔。 輸入內容可以保證在演算法得當情況下，規定時間內可以完成。
【輸出形式】
在標準輸出上輸出有若干行，每一行都是符合題意的一種排列形式，每個元素間用一個空格分隔，並按升序排列。
【輸入樣例】
3 2
【輸出樣例】
1 2
1 3
2 3
【時間限制】
2s
【空間限制】
65536KB與選排列類似，不過要避免重複選擇。思路也很簡單。每次出現一個元素被選擇後，確定下面的元素就得從該元素後面尋找選擇。所以用一個start來表示從哪個元素開始遍歷。
#include<stdio.h>
#define MAXNUM 22
int used[MAXNUM] = { 0 };
int stack[MAXNUM];
int m, n;
void choose(int a, int start);
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
choose(0, 1);
return 0;
}
void choose(int a, int start)
{
int i;
if (a == m)
{
for (i = 0; i < m; i++)
printf("%d ", stack[i]);
printf("\n");
return;
}
for (i = start; i <= n; i++)
{
if (used[i] == 0)
{
stack[a] = i;
used[i] = 1;
choose(a + 1, i + 1);
used[i] = 0;
}
}
}
錯位全排列
【題目描述】
輸出第 k 大的 1∼n 的全錯位排列。
全錯位排列：對於數字 1∼n 的一個排列 p1,p2,…,pn，如果對 ∀i∈[1,n] ，都有 pi≠i，那麼稱它為全錯位排列。
第 k 大：把全錯位排列按照字典序從大到小排序之後的第 k 個。
【輸入】
第一個數為資料組數 T(1≤T≤20) 。
接下來 T 行，每行兩個空格隔開的正整數 n,k(2≤n≤9)。保證 k 合法。
【輸出】
對於每組資料，輸出一行，n 個空格隔開的整數。表示第 k 大的全錯位排列
【輸入樣例】
2
2 1
3 1
【輸出樣例】
2 1
3 1 2
【題目來源】:BUAAOJ 1079 ruaaaaa
麻煩一點的可能是處理第k大，首先我們用一個index來表示這是第幾大的。其次由於是字典序大的在前面，所以我們從後往前遍歷，這樣每次都是字典序大的在前面出現。
除此之外，全排列的判斷僅僅是多了一個p[i] != i而已，在遞迴時判斷一下就好了。
#include<stdio.h>
#define MAXNUM 10
int used[MAXNUM] = {0};
int stack[MAXNUM];
int m, n, index;
void allrank(int number)
{
int i;
if(number == m)
{
index ++;
if(index == n)
{
for(i = 0; i < m; i++)
printf("%d ", stack[i]);
putchar('\n');
}
}
for(i = m; i >= 1; i--)
{
if(used[i] == 0 && number + 1 != i)
{
used[i] = 1;
stack[number] = i;
allrank(number + 1);
used[i] = 0;
}
}
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
index = 0;
scanf("%d%d",&m,&n);
allrank(0);
}
return 0;
}說白了，只要能理解開始的兩種全排列基本情況，後面的變體那都不是事。