平面的表示。

通常用點法式（p0,n）來描述一個平面。其中點p0是平面的一個點，向量n是平面的法向量。每個平面把空間分成了兩個部分，我們可以用點法式表示其中一個半空間。具體是哪一個呢?是這個法向量所背離的那一個（即法向量指向遠離半空間的方向）。

既然是法向量，n就垂直於平面上的所有直線。換句話說，平面上的任意點p滿足Dot(n,p-p0)=0.

設點p的座標為（x，y，z），p0的座標為（x0，y0，z0），向量n的座標表示為（A，B，C），上述等式等價於

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

整理得 Ax+By+Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0.如果令D=-(Ax0 + B0 + Cz0)，我們就得到了平面的一般式：

Ax+By+Cz+D=0.

注意，當Ax+By+Cz+D>0時，上述點積大於0，即點(x,y,z)在半空間(p0,n)外。換句話說，Ax+By+Cz+D>0 表示的是一個半空間（half space）

過定點垂直於定直線的平面。平面的法向量就是這條直線，所以可以直接寫出所求平面的點法式。

直線與平面的夾角、兩平面的夾角、兩直線的夾角。注意到與平面的夾角可以轉化為與法向量的夾角。兩平面的夾角等於這兩個平面的法線的夾角。

點到平面的距離。把向量p-p0投影到向量n上可得：p到平面的有向距離為Dot（p-p0,n）/Length(n)。這是一個相當簡潔的結論。如果n是單位向量，甚至會更簡單。

點p到平面p0-n的距離。n必須為單位向量。

double DistancetoPlane(const Point3 &p, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
    return fabs(Dot(p-p0, n));    //如果不取絕對值，得到的是有向距離
}

-點到平面的投影。

有了距離，投影點本身就不難求了。設點p在平面(p0,n)上的投影為p'，則p'-p=dn，其中d就是p到平面的有向距離。

點p到平面p0-n的距離。n必須為單位向量。

注意此處的小技巧，求d的時候沒有取絕對值。因為不確定p的位置。

Point3 getPlaneProjection(const Point3 &p, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
    return p - n*Dot(p-p0, n);
}
 

直線與平面的交點。可以簡單的通過解方程得到。設平面方程為Dot（n，p-p0）=0，過點p1和p2的直線的引數方程為p=p1+t(p2-p1)

則與平面方程聯立解得：

t=Dot(n,p0-p1) / Dot(n,p2-p1)

其中分母為0的情況對應於直線與平面平行，或者直線在平面上，如何區分？只要判斷p1或者p2是否在平面上即可。

直線p1-p2到平面p0-n的交點。假定交點唯一存在。

Point3 LinePlaneIntersection(const Point3 &p1,const Point3 &p2, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
    double t;
    Vector3 v;

    v = p2-p1;
    t = Dot(n, p0-p1) / Dot(n, v);         //判斷分母是否為0
    return p1 + v*t;                      //如果是線段，判斷t是不是在0和1之間
}

順便提一下:如果平面用一般式Ax+By+Cz+D = 0，則聯立解出的表示式為：

t= (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (A(x1-x2) + B(y1-y2) +C(z1-z2))

過不共線三點的平面。法向量為Cross（p2-p0,p1-p0）,任取一個點即可得到平面的點法式。