最大子陣列問題–分治策略

參考資料：演算法導論 P38. 所謂分治，一共分為三步：

分解：分解步驟將問題劃分為一系列子問題，子問題和原問 題形式一樣，只是規模更小

解決：遞迴地求解出子問題，如果子問題足夠小 ，就停止遞迴，直接求解

合併：將子問題的解組合城原問題的解

現在給一個整數型陣列。求出一一個它的子陣列世得子數組裡的元素和最大。

先分解這個問題。 假定我們要尋找子陣列A[low->high]的最大子陣列 我們可以將這個陣列從中間分開。得到兩個陣列。所求的最大子串的純在形式有三種： 1.完全位於A[low->mid]. 2.完全位於A[mid+1->high] 3.被mid所截。

我們可以分別求出以上三種情況的最大值left_sum,right_sum和cross_sum,然後三者中的最大值就是所求答案。

對於1和2情況，很明顯為問題的子問題。對於第三中情況，我們以mid為分界點，分別向左和向右進行遞加，求的每一邊的最大值，加起來即為第三種情況的最大值 。

c程式碼如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//子陣列中有mid
int find_max_crossing_subarray(int *A, int low, int high, int mid)
{
	int left_sum = -0xffff
 
;    //儲存到目前為止左邊最大和
	int sum = 0;               //儲存A[i->mdi]中所有值的和
	for (int i = mid; i >= low; i--)
	{
		sum += A[i];
		if (sum > left_sum)
			left_sum = sum;
	}
	int right_sum = -0xffff;  //儲存到目前為止右邊最大和
	sum = 0;
	for (int i = mid + 1; i <= high; i++)
	{
		sum += A[i];
		if (sum > right_sum)
 

			right_sum = sum;
	}
	return left_sum + right_sum;
}

int find_maximum_subarray(int *A, int low, int high)
{
	if (high == low)                 //數組裡只有一個元素
		return A[low];
	int mid = (high + low) / 2;      //得到中間元素的索引
	int left_sum = find_maximum_subarray(A, low, mid);  
	int right_sum = find_maximum_subarray(A, mid + 1, high);
	int cross_sum = find_max_crossing_subarray(A, low, high, mid);


	//取三個值中最大值
	if (left_sum >= right_sum && left_sum >= cross_sum)
		return left_sum;
	else if (right_sum >= left_sum && right_sum >= cross_sum)
		return right_sum;
	else
		return cross_sum;
}

int main()
{
	int A[] = { 13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7 };
	int sum = find_maximum_subarray(A, 0, 15);
	printf("%d\n", sum);
}