一組樣本資料的數值特徵一般來說可以從三個方面來描述：

1. 資料的水平（也可以稱之為集中趨勢或位置度量），反映資料的數值大小

2. 資料的差異，反映資料間的離散程度

3. 資料的分佈形狀，反映資料分佈的偏度和峰度

描述水平的統計量

資料水平是指數值大小，描述資料水平的統計量有平均數，分位數，眾數,同時這幾個統計量也可以用來描述資料的集中趨勢度。

平均數

**簡單平均數（simple mean）**的公式：

$\stackrel{}{x}$

加權平均數（weighted mean）：如果樣本被分為K組，每組的組中值（組上限與下限的平均數）為m1,m2,…,mk表示各組的頻數用f1,f2,…,fk表示，則樣本平均數的計算公式為：
$\bar{x} = \frac{m_{1}f_{1}+m_{2}f_{2}+m_{3}f_{3}+...+m_{k}f_{k}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+...+f_{k}} = \frac{\sum_{i=1}^{k}m_{i}f_{i}}{\sum_{i=1}^{k}f_{i}}$

一般來說，總體的平均數是無從得知的，因為無法得到總體是資料，所以我們常常從樣本的平均數來推測總體的平均數。

R方法

# 在 R中求簡單平均數
load(".\\tongjixue\\example\\ch3\\example3_1.RData")    #  30名學生的成績
head(example3_1,5)   # 展示前5名學生的成績
mean(example3_1$分數)  # 求分數的平均值


# mean(x, trim = 0, na.rm = FALSE, ...)
#  x - 向量
#  trim - 取值在0~0.5之間，例如trim=0.1,表示計算之前先排序，然後去掉前10%和後10%的資料，最後計算剩餘資料的平均值
#  na.rm - 預設為FALSE，當為TRUE時，表示去掉資料中的缺失值。（當資料中有缺失值時無法計算）

80

# 在 R中求加權平均數
load(".\\tongjixue\\example\\ch3\\example3_2.RData") 
example3_2

weighted.mean(example3_2$組中值, example3_2$人數)


# weighted.mean(x, w,...,na.rm=FALSE)
#  x - 計算加權平均數的物件，對應公式中的 f
#  w - 相應的權數向量，相當於公式中的 m

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python方法

import numpy as np
import pandas as pd
from IPython.core.interactiveshell import InteractiveShell
InteractiveShell.ast_node_interactivity = "all"    # jupyter結果多行顯示

data_1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])   # 矩陣
data_2 = pd.DataFrame(data_1)  # 資料框
data_2

# 在 python中求簡單平均數


# 利用資料框自帶的方法
data_2.mean()


# data.mean(axis=None, skipna=True)
#   axis - 預設為axis=None,即輸出每列的平均值
#   skipna：布林值，預設為True,計算結果時排除NA / null值


# 使用 numpy的函式
np.mean(data_1,axis=(1,0))


# np.mean(data, axis=None)
#   axis - 預設為axis=None,如果為元組，則計算多軸上的平均值。例如（0,1）計算行和列的所有資料的平均值。

0    2.0
1    3.0
dtype: float64

2.5

# 匯入資料
data_2 = pd.read_csv('.\\tongjixue\\example\\ch3\\example3_2.csv',engine='python')
data_2

# 在python中求 加權平均數

np.average(data_2['組中值'],weights=data_2['人數'])


# numpy.average(a, axis=None, weights=None,...)
#   a - array_like,計算加權平均數的物件，對應公式中的 f
#   weights - array_like,相應的權數向量，相當於公式中的 m
#   axis - 預設為axis=None,如果為元組，則計算多軸上的平均值。

81.0

data = np.arange(6).reshape((3,2))
data

np.average(data,axis=1, weights=[1./4, 3./4])

array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5]])

array([0.75, 2.75, 4.75])

因為加權平均數是使用組中值來代表該組資料的，所以同一組資料，簡單平均和加權平均結果不同，除非每組資料在組中值兩側成對稱分佈，故除非資料本來就是分組情況，一般都用簡單平均求平均值。

分位數

分位數代表資料水平的高低，常用的分位數有四分位數，中位數，百分位數

中位數

中位數是一組資料排序後位於中間位置的數值，用Me表示
$M_{e} =\left\{\begin{matrix}x_{(\frac{n+1}{2})}&,\text{n為奇數}\\ \frac{1}{2}\begin{Bmatrix}x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n+1}{2})}\end{Bmatrix} &,\text{n為偶數} \end{matrix}\right.$
中位數的特點是不受極端值的影響

四分位數

同中位數,將資料排序後位於1/4和3/4位置的資料。

百分位數
同四分位數，利用99個數據點將資料分為100份，百分位數提供了資料在最大值和最小值期間資料點分佈資訊。

R方法

# 利用之前example3.1的學生成績資料
# 中位數
median(example3_1$分數)

# 四分位數
quantile(example3_1$分數,probs = c(0.25,0.75))
# R總計算分位數有9種方法，預設type=7。

#百分位數
quantile(example3_1$分數,probs=c(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9))

85

25%     75%
70.5    90

10%     20%     30%     40%     50%     60%     70%     80%     90%
60.4    66.8    74.1    81.6    85      86      89.3    91      92.3

python方法

data_3 = pd.read_csv('.\\tongjixue\\example\\ch3\\example3_1.csv',engine='python')

np.percentile(data_3.分數,(25,50,75))

array([70.5, 85. , 90. ])

求分位數在統計雪上有多種方法，當分位點位於兩個數值中間時有不同的取值的方法，這個以後詳細討論。

眾數

一組資料眾數數顯頻數最多的數值，用 $M_{0}$表示，眾數在資料量比較大時才有意義，眾數可能不存在，也可能有2個或者多個。

R中沒有直接求出眾數的內建函式，所以需要自己寫自定義眾數函式

R方法

# 自定義函式
getmode <- function(x){
    y <- sort(unique(x))    # 去重數值並排序
    tab <- tabulate(match(x,y))  # 比較x與y中的數值，並列出他們在y中的位置，在計算每個位置的頻數放入物件tab中
    y[tab==max(tab)]   # 找出y中頻數最多的元素
}
getmode(example3_1$分數)

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python方法

在numpy或者pandas是沒有求眾數的方法的，但是我們可以利用scipy科學計算庫中的mode函式

from scipy.stats import mode
m0 = mode(data_3['分數'])[0][0]
print(m0)

# 或者利用numpy中的bincount()函式，此函式將資料按直方圖統計
count = np.bincount(data_3['分數'])
m0_1 = np.argmax(count)
print(m0_1)

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