七大排序演算法的個人總結（三）
堆排序（Heap）:
要講堆排序之前先要來複習一下完全二叉樹的知識。
定義：
對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號為i(0 <= i <= n)的結點與同樣深度的滿二叉樹編號為i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。
如上面就是一棵完全二叉樹。
我們主要會使用的的性質是父結點與子結點的關係：
標號為n的結點的左孩子為2 * n + 1（如果有的話），右孩子為2 * n + 2（如果有的話）。
由於完全二叉樹的結點的編號是連線的，所以我們可以用一個數組來儲存這種資料結構。結點之間的關係可以通過上面的公式進行計算得到。
那什麼是堆呢？
堆是具有下列性質的完全二叉樹：
每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值，稱為大頂堆（或大根堆）；或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值。稱為小頂堆（小根堆）。
如圖：就是一大根堆。將它轉化為陣列就是這樣的：
｛ 9，7，5，6，1，4，2，0，3 ｝
可以看到一個大概的情況是：第0個元素是最大的，前面的元素普遍比後面的大，但這不是絕對的比如例子中的1就跑到4前邊去了。
建堆：
那接下來就是第一個問題了，怎麼建立一個大根堆呢？也就是解決怎麼將給定的一個數組調整成大根堆
假如我們給定一個比較極端的例子｛ 10，20，30，40，50，60，70，80 ｝，加個0是為了方便不與結點的編號產生混淆。
對於這樣的一個堆，我們應該怎麼進行調整呢？
對於堆排序而言，一個比較直觀的想法就是從下面開始，把值比較大的元素往上推。這樣進行到根位置時，就可以得到一個一個最大的根了。
所以，我們應該從最後一個非葉子結點開始調整。
那麼怎麼確定哪一個是最後一個非葉子結點呢？
其實這完全是可以從完全二叉樹的性質中得到的。還記得嗎？
左孩子為2 * n + 1；
右孩子為2 * n + 2；
所以最後一個非葉子結點的編號為array.length / 2 – 1。array就是給定的陣列。
所以我們第一個要調整的結點是編號為3的結點，拿它的值跟兩個孩子的值做比較（它只有一個孩子）。顯然，40和80這兩個要交換位置了。
接下來就輪到編號為2的結點了，進行比較後顯然是70比較大一點，也進行交換：
同樣的道理，編號為1的結點也進行調節：
請注意，這個時候問題就來了。結點1是符合條件了，可以對於以結點3這根的這棵子樹就不符合大根堆的要求了，所以我們要重新對編號為3的結點再做一次調整。得到：
我們以同樣的方法對編號為0的結點也進行同樣的調整。最後就可以得到第一個大根堆了。
這一個過程我們可以稱為建堆。我們將資料展開成陣列：
｛ 80，50，70，40，10，60，30，20 ｝
不難發現這一個過程中，我們已經把很多值比較大的數字也放到了比較靠前的位置。這一點相當重要，也可以說是堆排序的精華所在。
得到了大根堆之後，我們是可以得到一個最大值了，接下來要做的，就是不斷的移除這個堆頂值，與堆尾的值進行交換，堆的長度減小1，然後進行重新的調整。
顯然，每次都是在堆頂刪除，在堆頂開始調整。
之後就是一直重複這個過程直到只剩下一個元素時，就可以完成排序工作了。
相信只要跟著這個思路和這幾張圖，自己模擬幾次還是很好理解的。
接下來看看程式碼是怎麼實現的：
public static void sort(int[] array) {
init(array);
// 這個過程就是不斷的從堆頂移除，調整
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
int temp = array[0];
int end = array.length - i;
array[0] = array[end];
array[end] = temp;
adjust(array, 0, end);
}
}
private static void init(int[] array) {
for (int i = array.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
adjust(array, i, array.length);
}
}
private static void adjust(int[] array, int n, int size) {
int temp = array[n]; // 先拿出資料
int child = n * 2 + 1; // 這個是左孩子
while (child < size) { // 這個保證還有左孩子
// 如果右孩子也存在的話，並且右孩子的值比左孩子的大
if (child + 1 < size && array[child + 1] > array[child]) {
child++;
}
if (array[child] > temp) {
array[n] = array[child];
n = child; // n需要重新計算
child = n * 2 + 1; // 重新計算左孩子
} else {
// 這種情況說明左右孩子的值都比父結點的值小
break;
}
}
array[n] = temp;
}
堆排序的程式碼量比較多，主要的工作其實是在adjust上。
在adjust這個過程中有幾個要注意的：
一個是要注意陣列的邊界，因為我們每次是把最大值放在最後，然後它就不能再參與調整了。
其次，是最後一個非葉子結點可能只有一個孩子，這也是需要注意的。
堆排序到底快在哪呢？
還是來看一個極端的例子：
｛ 1，2，3，4，5，6，7 ｝
在建堆的時候第一次比較之後的結果應該是這樣的：（7和3交換了位置）
｛ 1，2，7，4，5，6，3 ｝
第二次調整之後是：
｛ 1，5，7，4，2，6，3 ｝（5和2交換了位置）
然後是：
｛ 7，5，1，4，2，6，3 ｝（7和1交換了位置，1的位置不對，需要再調整）
｛ 7，5，6，4，2，1，3 ｝（6和1交換了位置）
可以看到，僅僅用了4次比較和4次交換就已經把陣列給調整成“比較有序”了。
這個其實是由完全二叉樹的性質決定的，因為子結點的編號和父結點的編號存在著兩倍（粗略）的差距。
也就說父結點與子結點的資料進行一次交換移動的距離是比較大的（相對於步進）。這個與冒泡和直接插入的“步進”是有明顯的區別的。可以說，堆排序的優勢在於它具有高效的元素移動效率（這是個人總結，不嚴謹）。
其次，我們在調整堆的時候，可以發現有一半的資料是我們不用動到的。這就使比較次數大大地減少。這個就是很好地利用在建堆的時候儲存下來的狀態。還是那句話“讓上一次的操作結果為下一次操作服務”。
最後回顧一下七個排序：
氣泡排序：好吧，它是中槍次數最多的，最大的優點應該是襯托其他演算法的高效。
選擇排序：我個人認為它是最符合人的思維習慣的，缺點在於比較次數太多了，但其實它在對少量資料，或者是對於只排序一部分（比如只選出前十名之類的），這種情況下，選擇排序就很不錯了，因為它可以“部分排序”。
直接插入排序：其實它還不算太差，在應對一些平時的使用時，效能還是可以的。直接插入排序是希爾排序的基礎。
希爾排序：這個曾經把我糾結很久的演算法，它的外表很難讓人看出它的強大。它在幾個比較高效的排序演算法中程式碼是最少的，也很容易一次性寫出。但理解有點困難。我覺得主要是那個步長序列太難讓人一眼看出它到底做了些什麼。個人覺得要理解希爾排序首先要弄清楚“基本有序”這個有什麼用和希爾排序的前n-1個步長做的就是這些事。先讓整個陣列變得基本有序，基於一個事實，就是對於基本有序的陣列而言，直接插入排序的效率是很高的。
歸併排序：分治和遞迴的經典使用，勝就勝在元素的比較次數比較少（貌似說是最少的）。缺點是需要比較大的輔助空間，這個有時會成為限制條件（因為過大的空間消耗有時是不允許的）。
快速排序：如其名，雖存在一定的不穩定性，理論上在最差的情況下，快速排序會退化成選擇排序，但可以通過一些手段來使這種情況發生的概率相當的小。
堆排序：個人覺得是最難一口氣寫出來的排序演算法，特別是調整結點的演算法每次都要寫得小心翼翼（當然，可能是平時寫得少）。但它確實是一個很優秀的排序演算法，堆排序在元素的移動效率和比較次數上都是比較優秀的。作業系統中堆可是一個重要的資料結構。我記得當時第一次寫出堆排序的感嘆是“原來陣列還可以這麼用”。
最後讓這幾大高手進行一次PK吧，測試的資料是3000000個範圍在0 ~ 30000000的隨機數。
得到的結果大概是這樣的：
差距並不算太大，可以看到，最快的還是Java類庫提供的方法，它為什麼能比快速排序還快呢？
因為它是綜合了其他幾個演算法的特點，比如說在元素很少的時候，直接插入排序可能會快一點，資料量大一點的時候歸併可能會快一點，當資料很大的時候，用快速排序可以把陣列分成小部分。所以它不是一個人在戰鬥！
好了，至此，七個排序演算法也算是複習了一次，還是那句話，本人菜鳥一個，對這幾個演算法理解有限，出錯之處還請各位指出。
一點個人感受，演算法這東西有時以為自己弄懂了，其實還差得遠了，有時候看十次書不如自己寫一次程式碼，寫了十次程式碼不如跟別人講一次。因為這個過程會遇到很多自己以前從沒想過的事。這就是我寫部落格的初衷。